Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

1.1. RICHIAMI DI PROBABILITÀ 7
• lim sup n∈N f n (x) = inf m∈N sup n≥m f n (x).
Ora che abbiamo a disposizione questi concetti, possiamo procedere enunciando un lemma
dimostrabile facilmente utilizzando il teorema precedente e la proprietà di monotonìa
degli integrali.
Lemma 5 (Lemma di Fatou). Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura e sia {f n } n∈N una
successione di funzioni misurabili nonnegative. Allora
∫
∫
lim inf f ndµ ≤ lim inf f n dµ.
n∈N
n∈N
Dimostrazione. Per la dimostrazione si veda, ad esempio, [2, §5.4 (pag. 52)]
Un altro risultato importante e fondamentale per la nostra trattazione è dato dal
seguente teorema.
Teorema 2 (Teorema di convergenza dominata). Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura e
sia {f n } n∈N una successione di funzioni misurabili tali che :
i) f n ∈ L 1 ,∀n ∈ N
ii) Esiste una funzione misurabile f tale che, dato x ∈ X,
lim f n(x) = f(x)
n→∞
iii) Esiste una funzione nonnegativa g ∈ L 1 tale che |f n (x)| ≤ g(x), ∀x ∈ X, ∀n ∈ N
Sotto queste ipotesi, si ha che allora f ∈ L 1 e che lim n→∞
∫
|fn − f|dµ = 0, dunque
lim n→∞
∫
fn dµ = ∫ fdµ.
Dimostrazione. Anche in questo caso, si consiglia di vedere [2, §5.9 (pag. 54)].
Questo teorema ci permette di dimostrare un lemma importante che dovremo utilizzare
in seguito e che ci apprestiamo ad enunciare.
Lemma 6 (Integrabilità uniforme). Sia (X, Σ, µ) uno spazio di probabilità e sia f ∈
L 1 (X, Σ, µ). Allora, per ogni η > 0, esiste δ > 0 tale che, comunque si scelga A ∈ Σ, si
ha che, se µ(A) < δ, allora ∫ A
|f(x)|dµ(x) ≤ η.
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, per il teorema di convergenza dominata,
si ha che
∫
lim
|f(x)|dµ(x) =
M→∞ {x∈X:|f(x)|>M}
∫
= lim |f(x)|χ {x∈X:|f(x)|>M} (x)dµ(x) = 0.
M→∞ X