Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

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36 CAPITOLO 2. APPLICAZIONI ED ESEMPI se tale operazione gode della proprietà di mescolanza. Si dimostra che una base della σ-algebra prodotto E n è data dall’insieme costituito dagli elementi del tipo A 1 × . . . × A n := {(x 1 , . . . , x n , . . .) : x m ∈ A m , . . . , x n ∈ A n }, (a tal proposito, si legga [1, pag.2]. Siano, quindi C := A 1 × . . . × A n D = B 1 × . . . × B n . Osserviamo che, dato N ∈ N tale che N > n, Dunque ove m, n ∈ N, m ≤ n, A m , . . . , A n ∈ E T −N C = {(x 1 , . . . , x n , . . .) : x N+1 ∈ A 1 , . . . , x N+n ∈ A n }. T −N C ∩ D = {(x 1 , . . . , x n , . . .) : x 1 ∈ B 1 , . . . , x n ∈ B n , x N+1 ∈ A 1 , . . . , x N+n ∈ A n }, pertanto, in virtù dell’indipendenza delle X n e dalla proprietà di stazionarietà del processo stocastico µ(T −N C ∩ D) = P (X 1 ∈ B 1 , . . . , X n ∈ B n , X N+1 ∈ A 1 , . . . , X N+n ∈ A n ) = P (X 1 ∈ B 1 , . . . , X n ∈ B n ) · P (X N+1 ∈ A 1 , . . . , X N+n ∈ A n ) = µ(D)µ(T −N C) = µ(D)µ(C) Dunque la proprietà di mescolanza è soddisfatta e, pertanto, le successioni di variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite sono processi ergodici. 2.3 Catene di Markov Sia (X, Σ, P ) uno spazio di probabilità e sia A un insieme di cardinalità finita. Consideriamo un processo stocastico {X n } n∈N , definito su (X, Σ, P ) ed a valori in E e supponiamo che per ogni naturale n ≥ 2 e per ogni sequenza a n , a n−1 , a n−2 , ..., a 1 di elementi di E (per cui entrambi i membri siano ben definiti) si abbia che P (X n = a n |X n−1 = a n−1 ) = P (X n = a n |X n−1 = a n−1 , X n−2 = a n−2 , ..., X 1 = a 1 ) : (2.4) tale processo si dice catena di Markov. Supponendo, inoltre, che il processo considerato sia tale che, comunque presi a, b ∈ E, P (X n = a|X n−1 = b) non dipenda dalla scelta di n ∈ N, diciamo che la catena di Markov considerata è omogenea.
2.3. CATENE DI MARKOV 37 Sotto queste ipotesi, ricordiamo innanzitutto che E è un insieme finito, dunque possiamo supporre che, se |E| = n, E = {a 1 , a 2 , ..., a n }, n ∈ N. Definiamo, quindi, la matrice : ⎡ ⎤ M a1 a 1 M a1 a 2 . . . M a1 a n M a2 a 1 M a2 a 2 . . . M a2 a n A = ⎢ ⎥ ⎣ . . . . ⎦ M ana1 . . . . . . M anan (2.5) tale che : M ai a j := P (X n = a j |X n−1 = a i ), per ogni i, j ∈ {1, 2, .., m − 1, m}. Ricordiamo che, nelle ipotesi fatte, il valore di ciascun elemento della matrice è lo stesso al variare di n ∈ N. Osserviamo che la matrice, detta matrice di transizione, per come l’abbiamo definita, soddisfa le seguenti proprietà : • M ai a j ∈ [0, 1], ∀a i , a j ∈ E; • ∑ a j ∈E M a i a j = ∑ a j ∈E P (X n = a j |X n−1 = a i ) = 1, ∀a i ∈ E. Definiamo, ora, per ogni a ∈ E, la funzione µ 1 (a) := P (X 1 = a) = P ({ω ∈ X : X 1 (ω) = a}). <strong>Il</strong> vettore così ottenuto µ 1 := ( µ 1 (a 1 ), µ 1 (a 2 ), . . . µ 1 (a n ) ) è detto distribuzione iniziale del processo stocastico {X n } n∈N . La distribuzione iniziale si dice stazionaria se, per ogni a i ∈ E, µ 1 (a i ) = P (X 1 = a i ) = P (X j = a i ), ∀j. (2.6) Osserviamo che tale proprietà è soddisfatta se e solo se si ha che µ 1 M = µ 1 . Infatti, consideriamo a titolo d’esempio la prima entrata del vettore ottenuto moltiplicando µ 1 per M, il suo valore è dato da:
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