Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

1.4. IL TEOREMA ERGODICO 17
1.4.2 Il teorema ergodico : caso binario
Teorema 4 (Teorema ergodico: caso binario). Se {X n } è un processo ergodico tale che
{X n } ∈ {0, 1}, ∀n ∈ N, allora la media X 1+X 2 +...+X n
n
converge quasi certamente al valore
costante E(X 1 ) = µ(1) = µ({x : x 1 = 1}).
Dimostrazione. Il nostro obiettivo è provare che :
1
n∑
lim x i = µ(1) quasi ovunque, (1.6)
n→∞ n
i=1
ove, ricordiamo, µ(1) = µ{x : x 1 = 1} = E(X 1 ) e µ 1 è la legge di X su {0, 1} N .
Supponiamo, per assurdo, che (1.6) sia falsa.
Più precisamente, supponiamo che l’insieme
B =
{
x : lim sup
n→∞
1
n
}
n∑
x i > µ(1) + ɛ
sia tale che µ(B) > 0 (il caso complementare, in cui si considera l’insieme degli x ∈ X
1
∑
tali che lim inf n
n→∞ n i=1 x i < µ(1) − ɛ, si tratta in modo analogo). Osserviamo che
lim sup
n→∞
Infatti, notiamo che
x 1 + x 2 + ... + x n
n
x 2 + x 3 + ... + x n+1
n
i=1
= lim sup
n→∞
= x 1 + x 2 + ... + x n
n
x 2 + x 3 + ... + x n+1
.
n
x
Inoltre, poichè x n ∈ {0, 1}, ∀n ∈ N, si ha che lim n+1
n→∞ n
− x 1
n
+ x n+1
n − x 1
n .
= 0, dunque
lim sup
n→∞
x 2 + x 3 + ... + x n+1
=
n
lim sup
n→∞
x 1 + x 2 + ... + x n
n
x n+1
+ lim
n→∞ n − x 1
n =
= lim sup
n→∞
x 1 + x 2 + ... + x n
n
Pertanto, se la sequenza (x 1 , x 2 , ..., x n , ..) ∈ B, allora la sequenza, ottenuta tramite uno
shift, (x 2 , x 3 , .., x n , ..) ∈ B e questo fatto vale anche per tutte le operazioni di shift
successive : abbiamo provato, quindi, che l’insieme B è T -invariante e, poichè abbiamo
assunto che µ sia ergodica rispetto a T e che µ(B) > 0, allora deve valere µ(B) = 1.
Supponiamo ora che x = (x 1 , x 2 , .., x n , ..) ∈ B : essendo B un insieme T -invariante,
allora
(x n , x n+1 , .., x n+m , ..) ∈ B, ∀n ∈ N,
⇐⇒ lim sup
m→∞
n+m−1
1 ∑
m
k=n
x k > µ(1) + ɛ, ∀n ∈ N,