Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

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40 CAPITOLO 2. APPLICAZIONI ED ESEMPI Teorema 7. Sia {X n } n∈N una catena di Markov definita su uno spazio di probabilità (X, Σ, P ) ed a valori in uno spazio finito E, omogenea ed avente distribuzione iniziale stazionaria e positiva in ogni punto di E. Allora tale catena è ergodica se e solo se la corrispondente matrice di transizione A è irriducibile. Dimostrazione. Dimostriamo entrambe le implicazioni separatamente. ⇐ Supponiamo innanzitutto che A sia irriducibile. Osserviamo che dalla condizione di irriducibilità seguono due fatti fondamentali di algebra lineare, che ci limitiamo ad elencare: – Esiste, a meno di multipli, uno ed un solo vettore π tale che πA = π. Notiamo che, poichè abbiamo supposto che, se µ 1 è il vettore distribuzione iniziale, µ 1 A = µ 1 , allora per l’unicità di π dev’essere per forza π = µ 1 . – Vale la seguente uguaglianza: lim N→∞ N−1 1 ∑ N k=0 M k+1 = P, (2.8) ove P è la matrice avente tutte le colonne uguali al vettore π. Proviamo che la catena di Markov soddifa la condizione di debole mescolanza, ovvero, dati due insiemi misurabili C = [c m 1 ] = {(x 1, x 2 , . . . , x k , . . .) : x 1 = c 1 , . . . , x m = c m } D = [d n 1 ] = {(x 1, x 2 , . . . , x k , . . .) : x 1 = d 1 , . . . , x n = d n }, (ove m, n ∈ N e c 1 , . . . , c m , d 1 , . . . , d n ∈ E), dimostriamo che lim N→∞ 1 N N∑ µ(T −j C ∩ D) = µ(C)µ(D). (2.9) j=1 Osserviamo che questo fatto equivale a dimostrare che lim N→∞ N+n−1 1 ∑ N j=n Osserviamo che, dato k > 0, Ora notiamo che µ(T −j C ∩ D) = lim N→∞ N−1 1 ∑ N k=0 µ(T −k−n C ∩ D) = µ(C)µ(D) T −k−n C = [b n+k+m n+k+1 ], ove b n+k+i = c i , 1 ≤ i ≤ m. µ([d n 1 ]∩[b n+k+m n+k+1 ]) = P (X 1 = d 1 , . . . , X n = d n , X n+k+1 = c 1 , . . . X n+k+m = c m ).
2.3. CATENE DI MARKOV 41 Utilizzando, dunque, la definizione di catena di Markov e facendo dei semplici calcoli si può osservare che µ([d n 1 ] ∩ [b n+k+m n+k+1 ]) = P (X 1 = d 1 , . . . , X n = d n , X n+k+1 = c 1 , . . . X n+k+m = c m ) ∑ = P (X 1 = d 1 , . . . , X n+1 = d n+1 , . . . , X n+k = d n+k , . . . , X n+k+m = c m ) = (d n+1 ,...,d n+k ) ∑ (d n+1 ,...,d n+k ) (P (X 1 = d 1 , . . . , X n = d n )·P (X n+k+1 = c 1 , . . . , X n+1 = d n+1 |X n = d n ) · P (X n+k+m = c m , . . . X n+k+2 = c 2 |X n+k+1 = c 1 )) ∑ = P (X 1 = d 1 , . . . , X n = d n )· P (X n+k+1 = c 1 , . . . , X n+1 = d n+1 |X n = d n ) (d n+1 ,...,d n+k ) · P (X n+k+m = c m , . . . X n+k+2 = c 2 |X n+k+1 = c 1 ) ove d n+1 , . . . , d n+k ∈ E. Ora notiamo che, sempre utilizzando la definizione di catena di Markov, possiamo facilmente osservare che U := P (X 1 = d 1 , . . . , X n = d n ) = µ(D) V := = = P (X 1 = d 1 ) · P (X 2 = d 2 |X 1 = d 1 ) · . . . · P (X n = d n |X n−1 = d n−1 ) ∑ (d n+1 ,...,d n+k ) ∑ (d n+1 ,...,d n+k ) n−1 ∏ = µ 1 (d 1 )A d1 d 2 · . . . · A dn−1 d n = µ 1 (d 1 ) A di d i+1 . P (X n+k+1 = c 1 , X n+k = d n+k , . . . , X n+1 = d n+1 |X n = d n ) P (X n+1 = d n+1 |X n = d n ) · . . . · P (X n+k+1 = c 1 |X n+k = d n+k ) = ∑ (d n+1 ,...,d n+k ) i=1 ( n+k−1 ∏ A di d i+1 )·A dn+k c 1 . i=n Osserviamo che, tramite alcune operazioni di algebra lineare, si può verificare che tale valore coincide con il termine in posizione (d n , c 1 ) della matrice A k , sia [A k ] dnc 1 . W := P (X n+k+m = c m , . . . X n+k+2 = c 2 |X n+k+1 = c 1 ) = P (X n+k+2 = c 2 |X n+k+1 = c 1 ) · . . . · P (X n+k+m = c m |X n+k+m−1 = c m−1 ) m∏ = Dunque µ([d n 1 ] ∩ [b n+k+m n+k+1 ]) = µ(D)[Ak+1 ] dnc 1 ∏ m A ci c i+1 i=1 i=1 A ci c i+1
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