Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

2.2. PROCESSI STAZIONARI 35
Quindi esiste lim n→∞ µ(T −n C ∩ D) = µ(D)µ(C) e dunque D ∈ Γ C . Dunque abbiamo
provato che Γ C è una classe monotòna: in virtù del lemma di Dynkin, dunque, Γ C ⊇ Σ,
ovvero la relazione (2.3) è soddisfatta per ogni C ∈ I e per ogni D ∈ Σ. Viceversa, se,
fissato D ∈ Σ, definiamo l’insieme
˜Γ D := { C ∈ Σ : lim
n→∞ µ(T −n C ∩ D) = µ(C)µ(D) } .
Si noti che ˜Γ D ⊇ I. Si dimostra in maniera simile che ˜Γ D è una classe monotòna: basta
osservare che, per ogni n ∈ N, l’applicazione T −n preserva le relazioni insiemistiche ed è
chiusa rispetto all’unione ed all’intersezione, dunque si procede analogamente a quanto
fatto prima. Quindi ˜Γ D ⊇ Σ e la relazione (2.3) è valida per ogni coppia C, D tale che
C ∈ Σ e D ∈ Σ.
Ora che disponiamo di tutti gli strumenti necessari, possiamo procedere con alcuni
esempi concreti di processi ergodici.
2.2 Processi stazionari
Sia (X, Σ, P ) uno spazio di probabilità e sia {X n } n∈N un processo stocastico a valori in
uno spazio di misurabile (E, E), ossia tale che
X n : (X, Σ, P ) → (E, E), ∀n ∈ N.
Supponiamo che tale sequenza sia costituita da variabili casuali indipendenti ed identicamente
distribuite, ovvero:
P (X n ∈ A n |X n−1 ∈ A n−1 , . . . , X 1 ∈ A 1 ) = P (X n ∈ A n ) · . . . P (X 1 ∈ A 1 ),
∀n ≥ 1, ∀A 1 , . . . , A n ∈ E
Notiamo che un processo stocastico i.i.d. è stazionario, infatti, dati A m , A m+1 , . . . , A n ∈
E, ove m, n ∈ N, m < n, si ha che
P (X m ∈ A m , X m+1 ∈ A m+1 , . . . , X n ∈ A n )
= P (X m ∈ A m ) · P (X m+1 ∈ A m+1 ) · . . . · P (X 1 ∈ A 1 )
= P (X m+1 ∈ A m ) · P (X m+2 ∈ A m+1 ) · . . . · P (X 2 ∈ A 1 )
= P (X m+1 ∈ A m , X m+2 ∈ A m+1 , . . . , X 2 ∈ A 1 ).
Consideriamo ora l’operazione di shift definita sullo spazio prodotto E n , munito della
σ-algebra prodotto E n
T : E N → E N
(x 1 , x 2 , . . . x n , . . .) ↦→ (x 2 , x 3 , . . . , x n , . . .).
Il nostro obiettivo è dimostrare che la trasformazione di shift è ergodica rispetto alla
misura di Kolmogorov associata al processo {X n } n∈N . Innanzitutto, proviamo a vedere