Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

1.4. IL TEOREMA ERGODICO 23
Lemma 10. Sia T una trasformazione stazionaria su uno spazio di probabilità (X, Σ, µ),
sia f ∈ L 1 (X, Σ, µ) e sia α un numero reale arbitrario. Se definiamo l’insieme
{
}
1
n∑
B = x : lim sup f(T i−1 x) > α ,
n→∞ n
allora
∫
B
i=1
f(x)dµ(x) ≥ αµ(B). (1.11)
Dimostrazione. Se µ(B) = 0, il lemma è banalmente verificato. Consideriamo, dunque,
il caso in cui µ(B) > 0. Definiamo l’insieme
{
}
f(T n x)
D = x ∈ X : lim = 0 .
n→∞ n
Sappiamo, dal lemma precedente, che µ(D) = 1, dunque µ(B ∩ D) = µ(B). Inoltre,
definiamo la misura condizionata
µ B (A) :=
µ(A ∩ B)
, ∀A ∈ Σ
µ(B)
(ricordiamo che abbiamo supposto µ(B) > 0). Osserviamo che, in base a tale definizione
ed alla definizione di integrale, si può concludere facilmente che
∫
f(x)dµ B (x) = 1 ∫
f(x)dµ(x).
µ(B)
B
Siccome nella (1.11) l’integrale è calcolato sull’insieme B, in virtù delle affermazioni
precedenti osserviamo che
∫
∫
∫
f(x)dµ(x) = f(x)dµ(x) = µ(B) f(x)dµ B (x).
B
B∩D
B∩D
Al fine di dimostrare il lemma, dunque, sarà sufficiente far vedere che
∫
f(x)dµ B (x) ≥ α.
B∩D
Ricordiamo, in base al lemma precedente, che B ∩ D = T −n B ∩ D, ∀n ∈ N. Ciò equivale
esattamente ad affermare che, dato x ∈ B ∩ D, per ogni numero naturale n esiste
m(n) ∈ N tale che m(n) ≥ n e che
∑ m(n)
i=n f(T i−1 x)
m(n) − n + 1 > α.
Dunque, per x ∈ B∩D, è sempre definito il ricoprimento forte C(x) = {[n, m(n)] : n ∈ N}.
Osserviamo che, dato x ∈ B, esiste sempre m(1) ∈ N tale che
∑ m(1)
i=1 f(T i−1 x)
> α.
m(1)
B