Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

1.4. IL TEOREMA ERGODICO 21
Osserviamo che, essendo T una trasformazione stazionaria, allora dev’essere
µ({x ∈ X : |f(x)| > ɛn}) =
Dunque
∑
= µ(T −n ({x ∈ X : |f(x)| > ɛn})) =
n∈N
µ({x ∈ X : |f(T n x)| > ɛn}) = ∑ n∈N
Per il lemma di Borel-Cantelli, quindi, possiamo affermare che
( ⋂
µ
n≥1
Pertanto
⋃
m≥n
)
{x ∈ X : |f(T m x)| > ɛm} =
µ({x ∈ X : |f(T n x)| > ɛn}).
µ({x ∈ X : |f(x)| > ɛn}) < +∞.
= µ({x ∈ X : ∀n ∈ N, ∃m ≥ n tale che |f(T m x)| > ɛm}) = 0
1 = µ({x ∈ X : ∃N = N(x) tale che |f(T n x)| ≤ ɛn, ∀n ≥ N}) =
= µ({x ∈ X : ∃N = N(x) tale che |f(T n x)|
n
≤ ɛ, ∀n ≥ N}).
Ricordiamo che questo risultato vale per ɛ > 0 fissato. Definiamo, quindi, l’insieme
G ɛ := {x ∈ X : ∃N = N(x) tale che |f(T n x)|
n
≤ ɛ, ∀n ≥ N}.
Finora abbiamo provato che µ(G ɛ ) = 1, ∀ɛ > 0. Si può notare facilmente che, dati
ɛ 1 , ɛ 2 > 0, se ɛ 1 < ɛ 2 , allora G ɛ1 ⊆ G ɛ2 . Osserviamo, inoltre, che
⋂
ɛ>0
G ɛ = {x ∈ X : ∀ɛ > 0, ∃N ɛ = N ɛ (x) tale che |f(T n x)|
n
Osserviamo, dunque, che per continuità dall’alto si ha che
( ) ⋂
G ɛ
ɛ>0
µ(D) = µ
≤ ɛ, ∀n ≥ N ɛ }
f(T n x)
= {x ∈ X : lim = 0} = D.
n→∞ n
= lim
ɛ→0
µ(G ɛ ) = 1.
Sia ora x ∈ B ∩ D, ovvero, ricordiamo, sia x ∈ X tale che :
lim sup
n→∞
1
n
n∑
f(T i−1 x) > α e
i=1
f(T n x)
lim = 0.
n→∞ n