Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

1.1. RICHIAMI DI PROBABILITÀ 5
Lemma 3 (Borel-Cantelli). Sia (X, Σ, P ) uno spazio di probabilità. Se {C n } n∈N è una
successione di elementi di Σ tale che ∑ P (C n ) < ∞, allora
( ⋂ ⋃
)
P C m = 0,
n≥1 m≥n
ossia per quasi tutti gli x ∈ X esiste un naturale N = N(x) tale che x /∈ C n , ∀n ≥ N.
Dimostrazione. Sia G n := ⋃ m≥n C m. Osserviamo che G n ⊃ G n+1 , ∀n ∈ N. Per continuità
dal basso, si ha che ( ⋂
)
P G n = lim P (G n).
n→∞
n≥1
Notiamo che
P (G n ) = P ( ⋃ m≥n
C m ) ≤ ∑ m≥n
P (C m ).
Osserviamo che, poichè per ipotesi la serie ∑ P (C n ) converge, allora dev’essere
∑
lim P (C m ) = 0,
( ) ⋂
quindi P
n≥1 G n = 0.
n→∞
m≥n
Siano, ora, (X, Σ) ed (Y, F) due spazi misurabili : una funzione f : X → Y si
dice misurabile se f −1 (A) ∈ Σ, ∀A ∈ F. Dato uno spazio di misura (X, Σ, µ), una
funzione misurabile f a valori reali è detta semplice se esistono a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R ed
A 1 , A 2 , . . . , A n ∈ Σ tali che f(x) = ∑ n
i=1 a iχ Ai (x), ∀x ∈ X. Se una funzione misurabile
è definita su uno spazio di probabilità (X, Σ, P ), allora tale funzione è detta variabile
casuale. Un processo stocastico a tempo discreto è una sequenza X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . di
variabili casuali definite su uno spazio di probabilità (X, Σ, P ).
Supponiamo ora che {X n } n∈N sia un processo stocastico definito su uno spazio di probabilità
(X, Σ, P ) ed a valori in uno spazio misurabile (E, E). Si dimostra che, dato
tale spazio misurabile, è ben definito lo spazio prodotto (E N , E N ), ove E N è la σ-algebra
prodotto. L’applicazione
X : (X, Σ, P ) → (E N , E N )
ω ↦→ (X 1 (ω), X 2 (ω), ..., X n (ω), ..)
è misurabile se e solo se X n è misurabile ∀n ∈ N.
Alcuni dei risultati che ora ci apprestiamo a richiamare si basano principalmente sul concetto
di integrale secondo Lebesgue di una funzione misurabile. Al fine di non discostarci
troppo dal nostro lavoro, tuttavia, diamo per scontata la definizione di tale nozione,
essendo particolarmente laboriosa ed essendo facilmente reperibile nella maggior parte
dei testi di base riguardanti la teoria della probabilità (si consideri, a titolo di esempio,
[2, pag. 49]).