Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

2.3. CATENE DI MARKOV 39
dunque, in generale, P (X n = a|X n−1 = b) è indipendente da n.
⇐ Supponiamo che valga la proprietà di omogeneità e che la distribuzione iniziale
sia stazionaria. Sotto queste ipotesi, dunque, è possibile osservare che, dato n ∈
N ed a 1 , ..., a n ∈ E :
P (X i = a i , m ≤ i ≤ n)
= µ 1 (a 1 )P (X 2 = a 2 |X 1 = a 1 ) · P (X 3 = a 3 |X 2 = a 2 )
· ... · P (X n = a n |X n−1 = a n−1 )
= P (X 2 = a 1 ) · P (X 3 = a 2 |X 2 = a 1 ) · P (X 4 = a 3 |X 3 = a 2 )
· . . . · P (X n+1 = a n |X n = a n−1 )
= P (X i+1 = a i , m ≤ i ≤ n)
Sia ora {X n } n∈N una catena di Markov omogenea ed avente distribuzione iniziale
stazionaria e sia A ∈ M n×n la corrispondente matrice di transizione, Tale matrice è
detta irriducibile se, per ogni coppia di indici (i, j), ove i, j ∈ {1 . . . , n}, esiste una
sequenza i 0 , i 1 , . . . , i l di elementi appartenenti ad {1 . . . , n} tale che i 0 = i, i l = j ed
Ai m i m+1 > 0, per m = 0, 1, . . . , l − 1.
Osserviamo che, in virtù delle ipotesi fatte e della definizione di Catena di Markov,
supporre che valga tale condizione equivale ad affermare che, se ad un dato istante la
catena di Markov assume il valore a i , allora la probabilità che, in un istante futuro, la
catena possa assumere il valore a j è strettamente positiva. Infatti assumiamo che, dato
k ∈ N, P (X k = a i ) > 0, allora
P (X k+1 = a i1 , X k = a i ) = P (X k+1 = a i1 |X k = a i )P (X k = a i )
Dunque
P (X k+2 = a i2 , X k+1 = a i1 , X k = a i )
= A i0 i 1
P (X k = a i ) > 0.
= P (X k+2 = a i2 |X k+1 = a i1 , X k = a i )P (X k+1 = a i1 , X k = a i )
= P (X k+2 = a i2 |X k+1 = a i1 )P (X k+1 = a i1 , X k = a i )
A i1 i 2
P (X k+1 = a i1 , X k = a i ) > 0
Iterando il procedimento e sfruttando la definizione di Catena di Markov, quindi, si
ottiene che
P (X k+l = a j , X k+l−1 = a il−1 , . . . , X k = a i ) > 0,
dunque P (X k+l = a j ) > 0. Ora vogliamo dimostrare che la condizione di ergodicità di
una catena di Markov omogenea ed avente distribuzione iniziale stazionaria equivale alla
condizione di irriducibilità della corrispondente matrice di transizione.