Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

1.4. IL TEOREMA ERGODICO 27
Osserviamo che, in questo caso, all’aumentare di L, µ B (E) = µ B (E ∩ D) è una quantità
sempre minore, dunque per L grande, |I 2 | è arbitrariamente piccolo.
Sia ora
∫
1 ∑
I 3 :=
f(T j−1 (x))dµ B (x).
G K
K
j∈[K−L,K]\ ⋃ [n i ,m(n i )]
Tale valore può essere facilmente maggiorato se osserviamo che, poichè G K ⊂ B ∩ D
|I 3 | ≤ 1 ∑
∫
|f(T j−1 (x))|dµ B (x) ≤
K
j∈(K−L,K]
G K
≤ 1 ∑
∫
|f(T j−1 (x))|dµ B (x) =
K
j∈(K−L,K]
= 1 K
∑
j∈(K−L,K]
B∩D
∫
B∩D
|f(x)|dµ B (x) ≤
≤ 1 K L ∫
B∩D
|f(x)|dµ B (x).
Dunque, per L fissato, se K è sufficientemente grande, I 3 è piccolo. Ora ricordiamo che
vale la relazione
∫
f(x)dµ B (x) ≥ (1 − 2δ)αµ B (G K ) + I 1 + I 2 + I 3
B∩D
≥ (1 − 2δ)α(1 − δ) + I 1 + I 2 + I 3
Ora fissiamo ɛ > 0. In base a tale valore ed alle stime ottenute, pertanto, siano :
- δ 0 tale che, ∀δ ≤ δ 0 , (1 − 2δ)α(1 − δ) > α − ɛ 4 ;
- δ 1 tale che δ 1 < δ 0 e che |I 1 | < ɛ 4 ;
- L 0 sufficientemente grande e tale che |I 2 | < ɛ 4 ;
- K 0 sufficientemente grande e tale che L 0
K 0
< δ 1 e |I 3 | < ɛ 4 .
Per tali valori di δ 1 , L 0 , K 0 , dunque, otteniamo che
∫
f(x)dµ B (x) ≥ α − ɛ 4 − ɛ 4 − ɛ 4 − ɛ 4 = α − ɛ.
B∩D
Ma questo significa che
∫
B∩D f(x)dµ B(x) ≥ α − ɛ, ∀ɛ > 0.
Per ɛ → 0, dunque, e per la permanenza del segno otteniamo che
∫
f(x)dµ B (x) ≥ α,
quindi possiamo concludere.
B∩D