Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

Capitolo 2
Applicazioni ed esempi
In questo capitolo utilizzeremo la teoria sviluppata finora al fine di dimostrare l’ergodicità
di alcuni prarticolari processi stocastici.
2.1 Strumenti tecnici
In questa sezione richiamiamo alcuni concetti di calcolo delle probabilità necessari al
nostro scopo. Sia, innanzitutto, (X, Σ, µ) uno spazio di misura e consideriamo un’ applicazione
T : X → X. Tale funzione è detta mescolante se
lim µ(T −n C ∩ D) = µ(C)µ(D), ∀C, D ∈ Σ. (2.1)
n→∞
Un processo stocastico, dunque, si dice mescolante se l’operazione di shift è mescolante
rispetto alla misura di Kolmogorov associata a tale processo.
Lemma 11. Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura e sia T : X → X un’applicazione. Se T
è mescolante, allora T è ergodica.
Dimostrazione. Sia C ∈ Σ tale che T −1 C = C: osserviamo che, poiché C = T −1 C =
. . . = T −n C = . . ., allora T −n C ∩ D = C ∩ D, ∀D ∈ Σ, ∀n ∈ N. Essendo T mescolante,
quindi, in virtù della (2.9) otteniamo che µ(C ∩ D) = µ(C)µ(D), ∀D ∈ Σ. Se poniamo
C = D, quindi, otteniamo che µ(C) = µ(C) 2 e questo è vero se e soltanto se µ(C) = 0
oppure µ(C) = 1.
Introduciamo ora il concetto di mescolanza debole. Un’applicazione T : X → X è
detta debolmente mescolante se
lim
N→∞
1
N
N∑
µ(T −j C ∩ D) = µ(C)µ(D), ∀C, D ∈ Σ.
j=1
Vediamo che, in questo caso, la condizione di mescolanza debole non solo implica la
condizione di ergodicità, ma è anche del tutto equivalente a quest’ultima.
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