Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

2.1. STRUMENTI TECNICI 33
A questo punto, disponiamo di ulteriori strumenti che possono essere utili nel determinare
se una data applicazione sia ergodica (e, nel caso della mescolanza debole,
possiamo anche verificare che non lo sia). Ai fini pratici, tuttavia, la verifica delle proprietà
di mescolanza e di mescolanza debole può essere complicata, dato che deve valere
per una coppia generica di elementi appartenenti alla σ-algebra che stiamo considerando.
A tal proposito, un aiuto notevole per la verifica di tali proprietà è fornito da un risultato,
la cui dimostrazione richiede la conoscenza di alcune definizioni di base e dell’enunciato
del lemma di Dynkin.
Definizione 6 (Base di una σ-algebra). Sia X un insieme e sia Σ una σ-algebra. Un
sottoinsieme I ⊆ Σ è detto base di Σ se
• Σ è generata da I
• A ∩ B ∈ I, ∀A, B ∈ I
Definizione 7. Sia X un insieme. Un sottoinsieme D ⊆ X è detto classe monotona su
X se soddisfa le seguenti condizioni:
• X ∈ D.
• Se A, B ∈ D ed A ⊆ B, allora B \ A ∈ D.
• Se {A n } n∈N è una successione di elementi di D tale che A n ⊆ A n+1 , ∀n ≥ 1, allora
⋃
n∈N A n ∈ D.
Ora che disponiamo di queste definizioni, possiamo procedere enunciando il seguente
lemma.
Lemma 13 (Lemma di Dynkin). Sia X un insieme, sia Σ una σ-algebra su X e sia I
una base di Σ. Ogni classe monotòna D su X contenente I contiene anche Σ.
Dimostrazione. Si veda, ad esempio, [2, §A1.3 (pag. 193)].
Ora, grazie a questi strumenti, possiamo enunciare e dimostrare un teorema che
risulterà molto utile al fine di dimostrare l’ergodicità di alcuni tipi di processi stocastici.
Teorema 6. Sia (X, Σ, µ) uno spazio di misura e sia T : X → X un’applicazione stazionaria.
Se la condizone di mescolanza (rispettivamente di mescolanza debole) è soddisfatta
per ogni C, D appartenenti ad una base di Σ, allora tale condizione (rispettivamente la
condizione di mescolanza debole) è valida per ogni C, D ∈ Σ.
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema relativamente alla proprietà di mescolanza: la
proprietà di mescolanza debole si tratta in modo analogo.
Sia, dunque, I una base di Σ : dobbiamo provare che se, per ogni C, D ∈ I,
lim µ(T −n C ∩ D) = µ(C)µ(D), (2.3)
n→∞