Il teorema ergodico - Matematica e Applicazioni

Capitolo 1
Il teorema ergodico
1.1 Richiami di probabilità
In questo paragrafo richiameremo alcuni concetti di base della teoria del calcolo delle
probabilità che ci saranno utili in seguito. Sia X un insieme. Definiamo σ-algebra su X
un sottoinsieme Σ di P(X) tale che :
i) X ∈ Σ,
ii) A ∈ Σ ⇒ X \ A ∈ Σ, ∀A ∈ Σ,
iii) Se {A n } n∈N è una successione di elementi di Σ, allora ⋃ n∈N A n ∈ Σ.
Si può verificare facilmente che, comunque si scelga X, esistono sempre almeno due
σ-algebre su X : Σ 1 = {∅, X} (σ-algebra banale) e Σ 2 = P(X) (σ-algebra discreta). Dato
un insieme X, pertanto, è sempre possibile associarvi una σ-algebra Σ : si definisce spazio
misurabile la coppia (X, Σ). Sia, dunque, (X, Σ) uno spazio misurabile. Consideriamo
ora un’applicazione
µ : Σ → [0, +∞]
tale che:
i) µ(∅) = 0.
ii) Se {A n } n∈N è una successione di elementi a due a due disgiunti di Σ (cioè tali che
A n ∩ A m = ∅, ∀m, n ∈ N tali che m ≠ n), allora
µ( ⋃ A n ) = ∑ µ(A n ).
n∈N n∈N
Tale funzione viene detta misura su (X, Σ). Uno spazio di misura è una terna (X, Σ, µ),
dove X è un insieme, Σ è una σ-algebra su X e µ è una misura su Σ. Se, inoltre,
supponiamo valga l’ipotesi aggiuntiva µ(X) = 1, allora si dice che µ è una probabilità su
Σ ed (X, Σ, µ) è detto spazio di probabilità. Ora consideriamo due proprietà fondamentali
della misura che risulteranno utili in seguito.
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