ω - 경상대학교

경상대학교 물리학과 김현수
경상대학교 물리학과 김현수
9-1
제 9 장 3차원의 강체운동
9-1 임의축에 대한 강체의 회전, 관성모멘트, 각운동량, 운동에너지
x
y
m i
o
R i
z
ω
r i
θ i
n
임의의 방향을 가진 축에 대한 관성모멘트
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
y
x
r
R
m
R
m R
I
k
j
i
r
n
r
+
+
=
×
=
=
= ∑
sinθ
:
,
2
인입자로 부터회전축까지수직거리
질량
x
y
o
z
ω
n
α
β
γ
γ
β
α
cos
cos
cos
k
j
i
n +
+
=
α
β
γ
α
β
γ
γ
β
α
α
α
β
β
γ
γ
α
α
β
β
γ
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
γ
β
α
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
)cos
(
)cos
(
)cos
(
cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
2
cos
)
cos
cos
(
)
cos
cos
(
)
cos
cos
(
)
(
)
(
)
cos
cos
(
)
cos
cos
(
)
cos
cos
(
cos
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
y
y
y
x
x
z
z
y
R
y
x
x
z
z
y
z
y
x
−
−
−
+
+
+
+
+
=
+
−
+
+
−
+
+
−
=
−
+
−
+
−
=
×
⋅
×
=
×
=
−
+
−
+
−
=
=
×
n
r
n
r
n
r
k
j
i
k
j
i
n
r

경상대학교 물리학과 김현수
경상대학교 물리학과 김현수
9-2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
−
=
=
−
=
=
−
•
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
=
+
=
+
−
−
−
+
+
+
+
+
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
곱
관성의
곱
관성의
곱
관성의
관성의곱
축에대한 관성모멘트
축에대한 관성모멘트
축에대한 관성모멘트
zx
I
I
x
m z
yz
I
I
z
m y
xy
I
I
y
m x
z
I
y
x
m
y
I
x
z
m
x
I
z
y
m
y
m x
x
m z
z
m y
y
x
m
x
z
m
z
y
m
I
xz
zx
i
i
i
i
zy
yz
i
i
i
i
yx
xy
i
i
i
i
zz
i
i
i
i
yy
i
i
i
i
xx
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
:
:
:
:
)
(
:
)
(
:
)
(
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
)cos
(
)cos
(
)cos
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α
β
γ
α
β
γ
γ
β
α
일반축에 대한 관성모멘트
β
α
γ
α
β
γ
γ
β
α
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
cos
2
2
2
xy
zx
yz
zz
yy
xx
I
I
I
I
I
I
I +
+
+
+
+
=
∴
[ ]
)
:
~
(
cos
cos
cos
cos
cos
cos
~
cos
cos
cos
n
,
:
)
(
의전치행열
방향을향하는 축에대한 관성모멘트
관성모멘트텐서
나행렬로표시
텐서
n
n
nIn
I
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
•
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
•
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
n
I
I
I
I
I
I
I
I
I
tensor
ji
ij
I
I =
- 관성의 곱은 질량분포와 좌표축에 대한
강체의 방향에 관계
- 실제의 강체에서 관성의 모멘트와 곱을 계산할 때
: Σ→∫ ⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝
⎛
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
dm
y
x
I
dm
z
x
I
dm
z
y
I
zz
yy
xx
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
= −
=
= −
=
= −
=
∫
∫
∫
xzdm
I
I
yzdm
I
I
xydm
I
I
xz
zx
zy
yz
yx
xy

경상대학교 물리학과 김현수
9-3
1. 회전운동량
L = N
• dt
d
입자계에서회전운동방정식
m i
o
R i
ω
r i
θ i
n
i
i
i
i
i m i
r
ω
v
v
r
L
×
=
•
×
=
좌표계의원점에대한입자계의각운동량
• 어떤
∑
구성입자의회전속도
강체의
[ ]
∑
∑
∑
∑
⋅
−
=
∴
⋅
−
=
⋅
−
⋅
=
×
×
×
×
=
×
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
m
m r
r
m
m
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
r
r
ω
L
ω
r
r
ω
ω
r
r
r
ω r
r
ω
r
r
ω
r
v
r
L
강체의각운동량
ω
k
j
i
ω
k
k
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j
j
ω
i
i
ω
kk
jj
ii
ω
1
kk
jj
ii
1
ω
ω
1
ω
r r
1
ω
r r
ω
L
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
=
⋅
+
+
=
=
⋅
⎥ ⋅
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟ −
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟ ⋅
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
•
∑
∑
∑
∑
z
y
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
m
m r
m
m r
ω
ω
ω
)
(
)
(
)
(
)
(
:
2
2
단위텐서
텐서형태
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(dyad product)
:
c
b
a
d
c
ab
d
c
b
a
c
ab
c
b
a
c
ab
ab
⋅
⋅
=
⋅
⋅
∗
⋅
=
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⋅
⋅
=
⋅
•
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
z
z
z
y
y
x
x
y
z
z
y
y
x
x
x
z
y
x
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
c
b
c
b
c
b
a
a
a
c
b
c
b
c
b
a
c
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c
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c
b
a
c
b
c
b
c
b
a
c
c
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
형태의벡터곱 다이아드 곱
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
→
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
ab

경상대학교 물리학과 김현수
9-4
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
= −
⎥ ⋅
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⋅
=
⋅
⋅
=
+
=
−
=
⎥ ⋅
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⋅
=
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
=
•
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
xy
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
xx
i
i
i
i
i
i
i
ij
y
m x
m
m r
I
z
y
m
m x
m r
m
m r
I
m
m r
ij
T
j
r r
kk
jj
ii
i
j
I
i
i
r r
kk
jj
ii
i
i
I
i
r r
1
I
T
j
T
i
)
(
)
(
)
(
)
(
3
:
3
2
2
2
2
2
2
2
성분
의
차원텐서
차원에서텐서
ω = iω x
[보기]
x
y
z
= 0
=
=
z
y
x
ω
ω
ω
ω
)
(
//
)
(
)
(
)
(
×
→
+
+
=
∴
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⋅
=
ω
L
k
j
i
L
k
j
i
ω
I
L
zx
yx
xx
z
zz
y
zy
x
zx
z
yz
y
yy
x
yx
z
xz
y
xy
x
xx
z
zz
y
zy
x
zx
z
yz
y
yy
x
yx
z
xz
y
xy
x
xx
z
y
x
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
r r
1
L
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟ −
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ∑
∑
i
i
i
i
i
i
i
m
r
m 2 )
(
//
:
.
×
∗
⋅
=
•
ω
L
ω
L
ω
I
L
는반드시평행이라고 할 수없음
과
즉
같다고 할 수는없음
각운동량벡터의방향은반드시회전축방향과
텐서표기법으로 각운동량

경상대학교 물리학과 김현수
9-5
[예제 9.1] 질량이 m이고한변이a 인 균질한 정사각형 판의 대각선에 대한 관성모멘트는?
x
y
o
z
n
α
β
γ
a
a
m
a
2
4
2
4
2
2
0
2
0
0
2
2
4
1
4
4
2
2
2
0
0,
0
0,
:
0
3
2
,
3
1
ma
a
a
m
a
a
a
ydy
a
xydxdy
I
I
I
I
yz
xz
z
ma
I
I
I
ma
I
I
a
a
a
yx
xy
yz
xz
yy
xx
zz
yy
xx
= −
= −
= −
⋅
= −
= −
= −
=
=
=
→
=
=
=
=
+
=
=
=
∫
∫
∫
σ
σ
σ
σ
[ ]
[ ] 2
2
1
2
1
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
2
3
2
2
3
1
2
4
1
2
4
1
2
3
1
12
1
0
0
0
0
0
0
0
~
,
cos
cos
cos
0
0
cos90
cos
,
cos 45
cos
cos
~
0
0
0
0
0
0
0
0
ma
ma
I
I
ma
ma
ma
ma
ma
ma
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
∴
=
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
=
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
n
k
j
i
n
nIn
I
γ
β
α
γ
β
α
o
o
[예제 9.2] 회전운동량 계산
(a) x축에 대한 회전
x
y
o
L
a
a
ω
ω
I
L
⋅
=
=
=
=
0
z
y
x
ω
ω
ω
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⋅
=
j
i
ω
I
L
4
1
3
1
0
0
0
0
0
0
0
2
4
1
3
1
2
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
ω
ω
ω
ma
ma
ma
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
dm
y
x
I
dm
z
x
I
dm
z
y
I
zz
yy
xx
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
= −
=
= −
=
= −
=
∫
∫
∫
xzdm
I
I
yzdm
I
I
xydm
I
I
xz
zx
zy
yz
yx
xy
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 2
a m
σ

경상대학교 물리학과 김현수
9-6
(b) 원점을 지나는 대각선 축
0
2
cos 45
=
=
=
=
z
y
x
ω
ω
ω
ω
ω
o
x
y
o
L
a
a
ω
z
ω x
ω y ( )
j
i
ω
I
L +
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⋅
=
2
12
0
1
1
2
12
0
0
0
0
0
0
2
2
2
12
1
2
12
1
2
2
2
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2 ω
ω
ω
ω
ω
ma
ma
ma
ma
[ ]
[ ] ( )
12
1
1
1
2
12
0
1
1
0
1
1
2
12
~
)
(
12
5
144
25
)
(
16
1
9
1
)
(
0
0
)
(
~
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
3
1
4
1
3
1
2
2
2
2
1/
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ma
L
ma
ma
L
b
ma
L
ma
ma
ma
L
L
a
=
→
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=
⋅
=
LL
LL
L
L
의경우
의경우
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
0
0
0
0
ma
I

경상대학교 물리학과 김현수
9-7
2. 강체의 회전운동에너지
x
y
m i
o
R i
z
ω
r i
θ i
n
L
ω
v
r
ω
v
r
ω
C
B
A
C
B
A
v
r
ω
v
v
r
ω
v
⋅
=
×
⋅
=
×
⋅
=
×
⋅
=
⋅
×
⋅
×
=
⋅
=
×
=
∑
∑
∑
∑
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
rot
i
i
i
i
i
i
i
i
rot
i
i
m
m
T
m
m
T
회전운동에서
[ ] ( )
z
y
yz
z
x
xz
y
x
xy
z
zz
y
yy
x
xx
z
y
x
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
z
y
x
rot
rot
cm
trans
rot
cm
trans
cm
cm
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
T
T
T
T
T
T
m
ω
ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω 2
2
2
2
1
2
1
~
2
1
2
1
,
2
1
2
1
2
1
,
2
2
2
+
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
=
⋅
=
=
ωIω
ω
I
ω
p
v
L
ω
p
v
v
p
v
강체의전체운동에너지
인 입자계의 병진운동에너지
입자계의운동량이
질량중심의속도가
행렬표기
[예제 9.3] (a) x축에 대한 회전 (정사각판)
[ ]
2
2
2
2
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
2
6
1
2
1
3
1
0
0
1
0
0
0
0
1 0 0
2
1
~
2
1
ω
ω
ω
ma
ma
ma
T
=
⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= Iω =
ω
(b) 대각선축에 대한 회전
[ ]
2
2
2
1
2
1
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
1
2
1
2
2
24
1
0
0
0
0
0
0
2
1
ω
ω
ma
ma
T
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=

경상대학교 물리학과 김현수
9-8
9.2 강체의 주축, 동력학적 균형
0)
(
.
0
axis):
principal
( =
=
=
=
• 회전관성
곱
이되도록택한 축
주축
yz
xz
xy
I
I
I
.
3
3
0
0
0
0
0
0
:
,
,
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
대칭행렬을대각선화시키는 문제와 동일
강체의주축을 구하는 문제는 수학적으로
강체의주축회전관성
강체의주축을 좌표계의축으로잡으면
×
∴
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
•
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
z
zz
y
yy
x
xx
I
e
k
e
j
e
i
ω
ω
ω
ω
ω
ω
[ ]
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
2
3
2
2
2
1
3
2
1
cos
cos
cos
cos
cos
cos
0
0
0
0
0
0
cos
cos
cos
~
)
cos
,
cos
,
(cos
I
I
I
I
I
I
I
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
•
nIn
회전축방향의단위백터 n
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
0
0
0
0
0
0
)
,
,
(
,
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
I
I
I
I
I
I
I
I
I
e
e
e
Iω
L
ω
n
ω
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
주축에대한 성분
과같은 방향
는
각속도
회전운동에너지
임의의회전축에대한 회전운동량 및
좌표축이주축과일치하는 좌표계에서
[ ]
( )
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
2
1
~
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
I
I
I
I
I
I
T rot +
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
= Iω
ω

경상대학교 물리학과 김현수
9-9
1. 주축의 존재
• 대칭인 강체는 대칭축이 주축이 됨
(곱 회전관성 = 0)
• 임의 모양의 평면판 강체의 주축
I
y’
z = 0
xy
z
:
2
= −
I
∫
xz
y
= I
yz
= 0
xy dm = 0
x’
dm
이되는 축
1
x
→ 주축
• 강체가 주축중의 하나인 1축에 대한 회전
ω = ω
1,
ω2
= ω2
= 0
L = e1I 1ω1
= I1ω
각운동량과 각속도는 같은 방향
. 회전축이 주축의 방향이면 각운동량과
각속도의 방향이 일치함
[예제 9.4] (a) 직육면체 토막의 질량중심에 대한 주축 (표8.1)
(b) 탁구 라켓의 주축
I = I
I
I
I
1
2
3
1
2 2 m 2 2
( b + c ),
I = ( a + c )
m
I1
=
2
12
12
m 2 2
I3
= ( a + b )
12
점O를
지나는임의축에대한
회전관성
I = I
cos
I = I(cos
2
2
rod
α + I
+ I
2
α + cos
disc
cos
정육면체(
a = b = c) : I
2
1 ⎛ m ⎞
= 0 + ⎜ ⎟a
4 ⎝ 2 ⎠
1 ⎛ m ⎞
= ⎜ ⎟(2a)
3 ⎝ 2 ⎠
1 ⎛ m ⎞
= ⎜ ⎟(2a)
3 ⎝ 2 ⎠
2
2
2
2
=
+
+
β + I
1
β + cos
1
8
5
4
3
2
= I
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
3
2
2
ma
cos
= I
2
m ⎞
⎟a
2 ⎠
m ⎞
⎟a
2 ⎠
2
2
2
3
γ ) =
,
γ
1
6
31
= ma
24
=
3
b
cos
ma
17
12
2
2
c
2a
3
ma
2
2
a
α + cos
O
2
→ I
2
O
2
3
β + cos
a
= I
1
2
+ I
2
1
γ = 1
1

경상대학교 물리학과 김현수
9-10
2. 동력학적 균형
정력학적 균형 : 회전축 → CM
동력학적 균형 : 회전축 →주축
L
ω
dL = N
dt
강체에는 토오크가
작용
3. 한 개의 주축이 알려졌을 때, 다른 주축을 구하는 방법
I
zx
x
1
L
= I
L = I ω = I
z 3
2
θ
y
ω
= 0,
⎡ωx
⎤
⎢ ⎥
⎢
ω
y
⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
= I
≠ 0
주축1에대한 회전 ( L // ω)
1
zy
1
I
zz
3
I
1
xyz 기준계에서각운동량의행렬표기
⎡I
xx
I
xy
0 ⎤ ⎡ωx
⎤ ⎡I
xxωx
+ I
xyω
y ⎤
L = Iω =
⎢
I I 0
⎥ ⎢
ω
⎥ ⎢
I
xyωx
I
yyω
⎥
⎢
xy yy
⎥ ⎢
y
⎥
=
⎢
+
y
⎥
⎢⎣
0 0 I ⎥
3⎦
⎢⎣
0 ⎥⎦
⎢⎣
0 ⎥⎦
I ω + I ω = I ω , I ω + I ω = I ω
주축1과
x 축 사이의 각도
I
xx
xx
x
+ I
xy
를 소거
= I
xy
y
1
tanθ
= I
1
x
xy
x
ω
y
: θ →
ω
= tanθ
L(1),
I + I tanθ
= I tanθ L(2)
[ − (1) × tanθ
+ (2)]
2 tanθ
tan 2θ
= =
2
1−
tan θ I
If
I
I
xx
xy
yy
→ tan 2θ
= ∞
= 0 → tan 2θ
= 0
2I
xx
xy
− I
xy
→ ( I
yy
∴45
yy
yy
yy
o
o o
∴0
, 90
y
− I
,135
x
xx
o
1
y
1
) tanθ
= I
y
2
(예9.1)
xy
o
135
(tan
y
2
θ −1)
1
o
45
x
x

경상대학교 물리학과 김현수
9-11
4. 회전관성 행렬의 대각화로 주축을 구하는 방법
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⋅
−
→
⋅
=
=
⋅
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
:
where,
0
)
(
1
3
2
1 I
I
I
I
i
i
i
i
i
i
i
i
주축이 일때
주축에대한 주관성모멘트
λ
λ
λ
λ
e
1
I
e
1
e
e
I
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
+
+
+
−
=
−
−
−
=
−
3
2
1
3
2
1
2
3
0
0
0
0
0
0
:
,
,
)
(
:
,
,
0
0
0
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
I
I
C
B
A
C
B
A
I
I
I
I
I
I
I
I
I
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
i
주관성모멘트
방정식의세실근
와는 무관
의함수
1
I
1)
(
1
cos
cos
cos
0
cos
cos
cos
0
)
(
cos
cos
cos
cos
cos
cos
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
⋅
=
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⋅
−
→
=
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
e
e
e
1
I
e
e
I
Q
γ
β
α
γ
β
α
λ
λ
λ
λ
λ
γ
β
α
λ
γ
β
α
ω
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ω
I
I
I
I
I
I
I
I
I
주축의 단위벡터에 대해
임의의 xyz-좌표계에서 좌표축이 주축이 되도록
회전하여 그 단위벡터들이 위 식을 만족하는 조건
L
ω
1
2
3
x
y
z
e 1
α 1
β 1
γ 1
원래 좌표계에 대한
주축방향 구하기
)
//
(
)
cos
,
cos
,
(cos
1
1
1
1
1
1
ω
L
ω
ω
I
L
e
e
ω
←
=
⋅
=
=
=
λ
γ
β
α
ω

경상대학교 물리학과 김현수
9-12
[예제 9.6] 정사각판의 한 구석에 대한
주 관성모멘트 (예제 9.1)
x
z
y
a
a
0
)
3
2
(
0
0
0
)
3
1
(
4
1
0
4
1
)
3
1
(
2 =
−
−
−
−
−
ma
λ
λ
λ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
→
= ±
−
=
∴
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟ −
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
12
7
12
1
4
1
3
1
3
2
0
3
2
4
1
3
1
0
3
2
4
1
3
2
3
1
ma
ma
ma
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
[예제 9.7] 정사각판의 한 구석에 대한 주축방향
1
cos
cos
cos
0
)cos
(
0,
)cos
(
cos
0,
cos
)cos
(
0
cos
cos
cos
)
(
0
0
0
)
(
0
)
(
2
2
2
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
=
+
+
=
−
=
−
+
−
=
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
γ
β
α
γ
λ
β
λ
α
β
α
λ
γ
β
α
λ
λ
λ
and
ma
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
,
0
1
1
2
1
,
0
1
1
2
1
)
(cos
3
2
1 e
e
e
을취함
원래의좌표계에서본 주축
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
3
2
3
1
4
1
4
1
3
1
2
0
0
0
0
ma
I
2
3
2
12
7
12
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
3
3
3
0
0
0
0
0
0
90
0
cos
45
,
135
0
cos
cos
12
7
90
0
cos
0,
cos
cos
45
0
cos
cos
12
1
,
3
2
90
,
0
:
ma
ma
ma
ma
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
=
=
=
→
=
+
=
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
=
=
+
−
=
=
→
=
−
=
=
=
=
=
I
o
o
o
o
o
o
o
γ
γ
β
α
β
α
λ
γ
γ
β
α
β
α
β
α
λ
λ
β
α
γ
을대입
을대입
적어도 주축중의하나는 사각판에수직

경상대학교 물리학과 김현수
9-13
9.3 강체에 대한 Euler 운동방정식
(5.16)
3
3
3
2
2
2
1
1
1
L
ω
L
L
e
e
e
L
L
N
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•
+
+
=
=
•
rot
fixed
dt
d
dt
d
I
I
I
dt
d
고정된관성계와 회전계에서각운동량의시간변화율
강체의경우 주축을 좌표축으로 사용하면
입자계의회전운동방정식
ω
ω
ω
1. 고정축 주위로 돌고 있는 강체
즉 토오크가전혀없음
토오크의세성분은 모두영
이면
회전축이주축
방정식
회전하는강체
고정축 주위로일정한 각속도로
;
0
0
,
1
)
(
)
(
)
(
Euler
0
3
2
1
3
2
1
1
2
2
1
3
3
1
1
3
2
2
3
3
2
1
3
2
1
=
=
=
=
=
=
•
−
=
−
=
−
=
=
=
=
•
N
N
N
I
I
N
I
I
N
I
I
N
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω
&
&
&
방정식
강체의운동에관한
을행렬표기
여기서
회전계에서의운동방정식
Euler
:
)
(
)
(
)
(
(1)
)
(
(1)
1
2
2
1
3
1
1
3
2
3
3
2
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⋅
×
=
×
⋅
=
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
•
I
I
I
I
I
I
I
I
I
N
N
N
I
I
I
dt
d
rot
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
&
&
&
&
&
L
e
e
e
ω
I
ω
L
ω
ω
I
L
L
ω
L
N

경상대학교 물리학과 김현수
9-14
9.4 강체의 자유회전 : 기하학적 논의
• 강체의 자유회전운동 ( N = 0 )
(예) - 질량중심 주위에 자유로이 회전할 수
있도록되어있는경우.
- 균일한 중력장에서 자유낙하 하면서
자유 회전하는 강체의 경우.
N = 0 → L = const.
• 강체에 고정된 회전축에 대해서 각운동량의
크기는 일정해도 방향은 변할 수 있음.
L ⋅L
= const.
2
I ω + I ω + I ω = L
2
1
회전운동에너지 ω ⋅L
= 2T
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
I ω + I ω + I ω = const.
3
T : 일정
= const.
rot
= const.
3
3
ω
o
o
2
2
2
세차운동 없음
ω
안정
1
세차운동 없음
안정
1
불안정
1
o
p
ω
L : 일정
2
: Poinsot 타원체
I <
1
< I
2
I3
3
o
ω
ω 의 세차운동
1

경상대학교 물리학과 김현수
9-15
9.5 대칭축을 가진 강체의 자유회전 : 해석적 방법
•강체가 어떤 대칭축을 가지고 있어서 세 관성모멘트 중 2개가 같은
특별한 경우의 Euler 방정식의 풀이
3 축이 대칭축일때
I s
= I3
I = I1
=
I
대칭축에대한 관성모멘트
2
Euler 방정식
⎡N
⎢
⎢
N
⎢⎣
N
1
2
3
대칭축에수직인축에대한
관성모멘트
⎤ ⎡ I &
1ω1
⎤ ⎡ω2ω3
( I
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
=
⎢
I &
2ω2
⎥
+
⎢
ω3ω1
( I
⎥⎦
⎢⎣
I & ⎥ ⎢
3ω3
⎦ ⎣ω1ω
2(
I
N = 0일때Euler
방정식
) ⎤
)
⎥
⎥
) ⎥⎦
⎛ I & ω1
+ ω2ω3(
I
s
− I)
= 0
⎜
⎜ I & ω2
+ ω3ω1
( I − I
s
) = 0
⎜
⎝ I &
sω3
= 0 → ω3
= const.
I
s
− I
put Ω = ω3
: 세차운동의회전진동수
I
3
1
2
− I
− I
2
3
− I
1
⎛ & ω1
+ Ωω
= 0 → &&
2
ω + Ω &
1
ω2
= 0
⎜
⎝ & ω2
− Ωω1
= 0
2
&& ω + Ω ω = 0 → ω = ω cosΩt
1
& ω = −Ωω
sin Ωt
→ ω = ω sin Ωt
1
1
0
ω = ω cosα
1
2
o
o
1
ω 3
o
3
Ω
α
ω o
대칭축을같는 강체의자유회전 →회전속도벡터는
대칭축 주위의원뿔을 따라 세차운동
I
s
− I
세차운동의회전진동수 : Ω = ω3
I
대칭축과(3
− 축)
회전축사이의각도:
α
3
∴Ω =
I
s
− I
I
ω cosα
ω
2

경상대학교 물리학과 김현수
9-16
9.6 고정계에 대한 강체의 회전 : Euler 각도
3
z’
ω
z
L
2
α
θ
o
φ ψ 1
x
x’
O123계에서ω의성분
고정좌표계 Oxyz ↔ Ox’y’z’↔ 주축으로 된 좌표계 O123,
y’ 강체의회전속도 ω,
Ox'
y'
z'
계에서회전속도 ω'
ω 는 z'(3)
축에대한 회전 ψ&
에Ox'
y'
z'
좌표계에서의
y
회전ω'
이겹친것임
Ox'
y'
z'
계에서ω'
의성분
Ox'
y'
z'
계에서ω의성분
⎛ω'
= & θ
⎛
x'
ω = &
x'
θ
⎜
⎜
⎜ω'
'
= & φ
'
= &
y y
φ sinθ
⎜ω
= &
y'
φ sinθ
⎜
⎜
⎝ω'
'
= & φ
'
= &
z z
φ cosθ
⎝ω
= & φ cosθ
+ ψ&
z'
⎛ω
= ω ψ + ω ψ = & θ ψ + &
1 x'
cos
y'
sin cos φ sinθ
sinψ
⎜
⎡ω
⎤ ⎡ ψ ψ ⎤⎡
& ⎤
1
cos sin 0 θ
⎜ω
= ω ( −sinψ
) + ω cosψ
= − & θ sinψ
+ &
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢
⎥
2 x'
y'
φ sinθ
cosψ
⇒
⎜
⎢
ω
⎥
=
⎢
− ψ ψ &
2
sin cos 0
⎥⎢
φ sinθ
⎥
⎜
⎝ω
= ω = & φ cosθ
+ ψ&
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢
⎥
3 z'
⎣ω
&
⎦ ⎣ 0 0 1⎦⎣φ
cosθ
+ ψ&
3
⎦
• 강체에 토오크가 작용하지 않는 경우에 각운동량 L은 고정계인 Oxyz계에서 크기와 방향이 일정
L의방향 : z 축방향→불변선(invariable line)
• Ox'
y'
z'
계에서 L 성분
고정좌표계와 주축좌표계의 연계 :
( L = 0, L = Lsinθ,
L L cosθ )
x ' y'
z'
=
φ, θ,
ψ : Euler 각도

경상대학교 물리학과 김현수
9-17
강체의회전속도:
ω
3 z’
θ
2
y'
dt시간 후 강체의무한소회전각도:
dβ
dβ
= ωdt
= dφ
+ dθ
+ dψ
∴ω
= φ& + θ&
+ ψ&
, ω'
= φ&
+ θ&
θ &
ψ& φ&
φ
ψ
1
ω
ω'
x'
x,1
z, 3
φ&
dφ
x'
dφ
z', 3
y, 2
dθ
dφ
θ &
φ&
x'
y'
z', 3
ψ&
dθ
φ&
dψ
dψ
dφ
마디선
θ & 2
x'
y'
1

경상대학교 물리학과 김현수
9-18
s
z
z
y
y
x
x
I
I
I
I
I
I
I
I
z
y
x
z
y
x
=
=
=
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
•
'
'
3
'
'
'
'
2
1 ,
:
'
',
',
: 3
'
2
:1,
'
,
'
3
주축
축
축
축
평면
축
축
대칭축이 축인강체의경우
평면에놓이게됨
성분이없으므로
는
상수
에서
'
'
'
0
0
0
,
'
'
'
'
'
'
'
'
z
y
x
I
I
L
L
x
x
x
x
x
x
x
x
ω
θ
θ
θ
ω
θ
ω
=
∴
=
→
=
=
=
=
=
•
&
&
&
α
ω
ω
α
ω
ω
α
ω
ω
α
ω
ω
α
cos
,
sin
cos
,
sin
:
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
s
z
z
z
z
y
y
y
y
z
y
I
I
L
I
I
L
z
=
=
=
=
=
=
• 각
축 사이의
와
벡터
각속도
ω
∗
=
=
•
α L
θ
α
θ
tan
tan
'
'
s
z
y
I
I
L
L
사이의관계
와
각도
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
→
>
>
→
<
<
(body cone)
:
(space cone)
:
) :
(
) :
(
강체원뿔
가 지나가는 곡면
대칭축 주위에
공간원뿔
가 지나가는 곡면
주위에
각운동량벡터
회전축이대칭축과각운동량벡터 사이에있음
길쭉한 강체
각운동량벡터가대칭축과 회전축 사이에있음
납작한 강체
ω
ω
L
α
θ
α
θ
s
s
I
I
I
I
2
1/
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tan
2
2
2
2
2
2
2
'
cot
1
sin
cot
1
1
tan
tan
cos
1
sin
tan
1
1
cos
tan
1
cos
1
)
tan
1
(sec
sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
= ⎡ +
∴ +
=
+
=
−
=
+
=
+
=
∴
+
=
→
+
=
∗
=
→
=
=
α
θ
α
α
α
θ
θ
α
θ
α
θ
θ
θ
θ
α
ω
φ
α
ω
θ
φ
ω
α
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
s
I
I
s
s
s
I
I
s
y
s
s
및
식
&
&
2
1/
2
2
2
2
1/
2
2
2
2
2
1/
2
2
2
cos
1
1
cos
sin
cot
1
sin
sin
sin
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=
=
∴
α
ω
α
α
ω
α
α
ω
θ
α
ω
φ
I
I
I
I
I
I
s
s
s
&
y'
z'
L
ω
θ
α
강체원뿔
공간원뿔

경상대학교 물리학과 김현수
9-19
대칭축을 갖는 강체의 자유회전에 대한 요약 → 기본적으로 세 개의 각도 변화율이 있음
: 1. 회전속도의 크기 ω, 2. 대칭축에 대한 회전축 (ω의방향)의세차율Ω
3. 불변선(각운동량벡터)에 대한 대칭축의 세차율 & φ 가 기본임.
[예제 9.8] 프레스비의 세차운동
3
1
대칭성
α
I
θ
2
L
수직축정리
= I
1
→ 2I
= I
s
I
ω
3
→
→
= I
+ I
= 2
2
1 2
2I1
= I3
I
I
s
Ω =
⎛
⎜
⎝
&
⎡ ⎛ I
φ = ω ⎢1
+
⎜
⎣ ⎝ I
= ω
I
I
s
⎞
−1⎟
ω cosα
= ω cosα
⎠
2
s
2
⎞
−1
⎟cos
⎠
2
( 1+
3cos α )
1/ 2
α

경상대학교 물리학과 김현수
9-20
9.7 자이로 세차운동 : 팽이의 운동
x
y
z
x’
y’
z’
l
1
2
3
mg
θ
φ
ψ
cm
cm
mg l θ o
y’
z
z’
)
sin
( θ
l
모멘트팔
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
×
=
0
0
sin
sin
'
'
'
z
y
x
N
N
mgl
N
mgl
N
θ
θ
F
r
N
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
=
=
ψ
θ
φ
ω
θ
φ
ω
θ
ω
&
&
&
&
cos
sin
'
'
'
z
y
x
ω의성분
L
ω
L
N
L
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
•
=
+
=
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
=
=
=
=
=
=
•
'
'
'
'
)
:
cos
(
)
cos
(
sin
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
rot
z
s
s
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
dt
d
z
y
x
S
S
I
I
I
L
I
I
L
I
I
L
계에서운동방정식
스핀
의성분
ψ
θ
φ
ω
ψ
θ
φ
ω
θ
φ
ω
θ
ω
&
&
&
&
&
&
S
I
I
I
s
θ
φ
θ
θ
φ
θ
φ
θ
sin
cos
sin
'
'
'
&
&
&
&
&
k
j
i
.
cos
sin
0
sin
cos
cos
2sin
sin
)
cos
sin
(
0
.,
.
0,
sin
sin
0
cos
2
sin
(2)
cos
)
sin
(
0
(1)
cos
sin
sin
sin
2
2
2
'
2
const
L
S
I
I
S
I
S
I
I
I
S
I
I
const
S
I
L
const
S
S
I
I
S
I
S
I
I
I
I
S
I
I
I
S
I
I
mg
z
s
s
s
s
dt
d
s
z
s
s
s
dt
d
s
=
=
+
→
=
−
+
+
+
=
=
=
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
→
−
+
=
−
+
=
+
−
=
−
+
=
•
θ
θ
φ
θ
θ
θ
θ θ
θ
φ
θ
φ
θ
θ
φ
θ
θφ
θ
θφ
θ
θ
θφ
θ
φ
θ
θφ
θ
θ
φ
θ
θ
φ
θ
φ
θ
θ
&
&
&
&
&
&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&
L
&
&
&
&
L
&
&
&&
l
성분별로
θ
θ
θ
φ
θ
θ
)cos
(
)sin
sin
(
cos
sin
)
(
)
(
)
(
'
'
'
'
'
S
I
I
L
L
L
L
L
L
s
z
y
Z
z
Z
y
Z
x
z
+
=
+
=
+
+
=
&

경상대학교 물리학과 김현수
9-21
mglsinθ
= I && θ + I & φ sinθ
& φ
2
sS
− I sinθ
cosθ
o
• 특수한경우 θ = 90 , & θ = & θ
= 0
(1) → mgl
= I
sS
&
2. 조용한 팽이 : 세차운동이 없음
φ
&
z’ 3
dL
θ = 0 = 상수,
φ = 실수
N =
2 2
dt
I s
S ≥ 4mglI,
팽이가 쓰러졌을때:
θ = 90
1. 자이로스코프의 고른 세차운동
mg
l
o
• θ 가일정하지만 90 가 아닐때
& θ = && θ = 0
2
(1) → mglsinθ
= I S & φ sinθ
− I &
s
φ cosθ
sinθ
2
mgl
= I S & φ − I &
s
φ cosθ
2
( I cosθ
) & φ − I S & φ + mgl
= 0
s
2 2
± − 4 cos
∴ &
I
sS
I
s
S mglI
θ
φ =
2I
cosθ
+ : 빠른 세차운동,
− : 느린세차운동
9.9 에너지방정식과 장동
• 자이로스코프에 마찰력이 작용하지 않으면
에너지보존
• 전체에너지 T
+ V =
2 2 2
( Iω
+ Iω
+ I S ) + mg cosθ
= E
E
= 상수
rot
1
2 x'
y'
s
l
• Euler 각도를 쓰면
( I & 2
θ + I & 2 2
2
φ sin θ + I S ) + mg cosθ
E
1
2
s
l =
o
보통의 경우 팽이나 자이로스코프는 느린
것이 일어남.
2
I s
S
2
≥ 4mglI
cosθ
: & φ 가 실수일조건
Lz
− I
sS
cosθ
Lz
− Lz
cosθ
(9.107) → &
'
φ =
=
2
2
I sin θ I sin θ
2
1 Lz
− Lz
θ
I & 2 (
'
cos ) 1 2
θ +
+ I
sS
+ mgl
cosθ
=
2
2 2I
sin θ 2
E

경상대학교 물리학과 김현수
9-22
유효포텐셜
:
cos
sin
2
)
cos
(
)
(
)
(
2
1
2
1
'
cos
sin
2
)
cos
(
2
1
2
1
2
2
'
2
2
2
2
'
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
l
&
l
&
mg
I
L
L
V
V
I
S
I
E
E
mg
I
L
L
I
S
I
E
z
z
s
z
z
s
+
−
=
+
=
−
=
+
−
+
+
=
0 ~ 1
:
~ 90
0
:
0
)
(
0
)
(
:
3
:
)
(
where,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
)(2
(1
sin
)
cos
(
)
cos
2
(2
2
cos
2
sin
)
cos
(
)
(1
,
)
(1
)
(sin
,
cos
put,
2
2
2
'
1
2
2
2
2
2
2
'
1
2
2
2
2
2
2
'
2
2
2
2
2
1/
2
u
u
f
u
f
t
u
f
u
f
du
dt
t
u
f
u
dt
du
u
f
u
I
u
L
L
I
u
mg
S
I
E
u
u
I
L
L
I
mg
S
I
E
I
E
I
mg
I
S
I
I
L
L
u
u
u
u
u
z
z
s
z
z
s
s
z
z
→
=
>
→
←
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
=
+
+
−
+
−
=
−
= −
= −
=
∫
∫
−
−
−
o
o
&
&
l
&
l
&
l
&
&
&
&
&
&
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
의 근
실수
차 다항식
타원적분
의 형태
f(u)
u
-1
0 1
u 3
u 2
u 1 )
(nutation
:
~
~
2
1
2
1
진동하는것
세차운동을 하면서
장동
θ
→θ
u
u
물리학적인 근이 아님
f(u)
u
-1 1
: 장동이 없고 팽이는
고른 세차운동
f(u)
u
-1 1
: 조용한 팽이에 대한 조건
V (θ )
1
θ 2
θ
θ
E'

경상대학교 물리학과 김현수
9-23
9.9 자이로 나침판
z ω e ω e y’
N
S
r e λ
λ
λ
ω
λ
ω
sin
) :
'
(
cos
) :
(
e
e
y
성분
축
수직성분
수평성분 북쪽방향성분
i’
φ
N χ k’
E
S
W
자이로스코프의
회전축
0
,
90 =
= l
o
θ
φ
λ
ω
λ
ω
φ
λ
ω
sin
cos
'
sin
'
cos
cos
'
'
'
'
e
e
e
e
z
y
x
k
j
i
ω +
+
=
• 계에서
s
e
e
e
e
e
I
I
I
I
I
z
y
x
=
=
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
•
3
2
1 ,
)
sin
cos
'(
)
sin
'(
cos
cos
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
자이로스코프의주 관성모멘트
자이로스코프의각속도
계에서
의비율로 돌고있으므로
수직축을 중심으로
φ
λ
ω
ψ
λ
ω
φ
φ
λ
ω
ψ
φ
ψ
φ
φ
&
&
&
&
&
&
&
k
j
i
k
j
ω
k
ω
ω
j
ω
ω
φ
λ
ω
ψ
λ
ω
φ
φ
λ
ω
sin
cos
,
'
)
sin
(
'
cos
cos
'
e
s
e
e
S
where
S
I
I
I
+
=
+
+
+
=
&
&
k
j
i
L
S
I
I
I
dt
d
s
e
e
e
e
e
rot
)
sin
(
cos
cos
sin
cos
sin
cos
cos
'
'
'
'
λ
ω
φ
φ
λ
ω
φ
λ
ω
φ
λ
ω
φ
λ
ω
+
+
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
•
&
&
k
j
i
L
ω
L
N
회전좌표계에대한 운동방정식
( ) ( )
( ) ( )
( )
φ
λ
ω
φ
φ
λ
ω
φ
λ
ω
φ
φ
λ
ω
cos
cos
sin
cos
cos
0
.
0,
'
0
'
sin
0
'
cos
cos
2
2
'
'
'
e
s
e
z
s
y
e
x
e
S
I
I
I
const
S
dt
dS
dt
dS
I
dt
d
I
dt
d
I
N
−
+
=
=
∴
=
→
×
+
=
×
+
+
=
×
+
=
•
&&
&
L
ω
L
ω
L
ω
성분별로
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
+
= −
= −
=
→
−
=
λ
ω
π
ω
π
χ
χ
λ
ω
χ
χ
φ
χ
φ
χ
φ
χ
φ
χ
φ
cos
2
2
0
:
0
sin
cos
,
,
sin
cos
90
0
e
s
e
s
S
I
I
T
I
S
I
주위로진동
로 표현하면 편리
의 여각인
&&
&&
&&
&
&
o

경상대학교 물리학과 김현수
9-24
9.10 강체의 일반적인 운동 : 굴러가는 바퀴
dt
d
dt
d
m
com L
N
v
F
=
=
•
:
(2)
:
(1)
질량중심에대한 회전운동
질량중심의병진운동
일반적운동
k’
j’
mg
φ &
ω
θ
o
p
운동의 일반 방정식
)
(
,
op
po
com
com
op
p
op
com
p
dt
d
m
dt
d
m
dt
d
dt
d
m
m
r
ω
r
ω
v
L
g
v
r
L
F
r
v
g
F
−
×
=
×
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
=
×
=
+
질량중심의속도
[ ]
(9.139)
'
)
'cos
'sin
(
'
')
(
'
'
'
'
)
'cos
'sin
(
')
(
'
:
),
'cos
'sin
(
',
2
L
L
ω
L
k
j
j
j
ω
ω
j
ω
j
ω
k
j
j
ω
j
L
k
j
g
j
r
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
×
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
×
+
×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
−
×
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
×
×
= −
+
= −
= −
rot
rot
rot
op
dt
d
mga
dt
d
ma
dt
d
dt
d
mg
a
dt
d
m
a
dt
d
a
g
a
θ
θ
θ
θ
θ
θ
회전좌표계에서
바퀴의반경
에대입
특별한경우 고른 굴림
(9.139)
'
'
'
(9.102)
'
'
'
(9.93)
'
'
'
(9.92)
,
sin
,
sin
1
1,
90
,
90
:steady rolling)
(
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
+
+
= −
→
+
+
= −
→
+
= −
→
= −
≈
≈

경상대학교 물리학과 김현수
9-25
S
I
S
I
I
S
I
I
mga
S
S
ma
s
s
s
&
&
&&
&
&&
&
&
&
&
'
)
'(
)
'(
'
)
'
'
'
(
2
k
j
i
i
i
k
i +
+
+
+
−
=
−
−
−
χ
φ
φ
χ
χ
φ
χ
[ ]
)
(
0
)
(
0
)
(
)
(
(1)
(1)
:
0
0,
(2)
:
(3)
(3)
)
(
0
(2)
0
(1)
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ma
I
I
Imga
S
Imga
S
ma
I
I
Imga
S
ma
I
I
ma
I
I
I
S
I
S
I
I
S
ma
I
S
S
I
S
ma
S
I
I
S
I
I
mga
S
ma
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+
>
∴
>
−
+
⋅
=
−
+
+
+
→
= −
→
=
+
=
=
→
→
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
→
=
−
+
=
+
= −
−
−
바퀴가안정하게굴러가려면
에대입
초기조건
일정
성분별
χ
χ
χ
φ
χ
φ
φ
χ
χ
φ
φ
χ
χ
φ
χ
&&
&
&
&
L
&
&
&
L
&
&&
L
&
&&
&
&&
17.6 cm/s
0.176 m/s
3
10
0.95
9.8
3
,
3
)
2(
,
2
1
2
9.12
2
1/
2
2
2
2
2
1
2
2
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ×
×
>
>
=
=
=
+
>
=
=
−
v
ga
v
aS
v
v
a
g
ma
ma
mga
S
ma
I
I
CM
s
굴러가는 동전
예제

경상대학교 물리학과 김현수
1. 아래 그림처럼 H=6 cm, L=9 cm 인 두 직각삼각형
금속판이 놓여 있다. 이 구조의 질량중심의 위치를
구하여 그림에 표시하시오.
y
2. 10 kg의입자는y가 줄어드는 방향으로 30 m/s 의
속도로 움직이고, 20 kg 의입자는x가 증가하는
방향으로 20 m/s의 속도로 움직인다. 두 입자계의
질량중심의 속력은 얼마인가?
H
y
O
H
y
: (
dy
x
L
H − y)
= L : x → x =
( H − y)
L
dm = σ ⋅ dy
H
CM
=
=
∫
∫
L
2
y
Ly
ydm
dm
2
H
0
H
0
=
∫
0
H
∫
0
L
−
3H
L
−
2H
H
y
y
( H − y)
L
H
( H − y)
L
y dy
H
( H − y)
L
dy
H
3
0
H
0
H
2
=
=
∫
0
H
∫
0
2
LH LH
−
2 3
LH
LH −
2
x
⎛ L
⎜ Ly −
⎝ H
⎛ L
⎜ L −
⎝ H
H
2
=
LH
6
LH
2
2
2 ⎞
y ⎟dy
⎠
⎞
y⎟dy
⎠
=
1
3
H
v
m
m
1
2
CM
∴v
= 10 kg,
= 20 kg,
1
= −10ˆj
+
CM
=
m1v
m
=
=
50
3
1
v
1
v
2
+ m2v
+ m
( −10)
= −30ˆj
(m/s)
2
40 ˆi
3
2
= 20ˆi
(m/s)
2
⎛
+ ⎜
⎝
(m/s)
40
3
= 16.67 m/s
−10×
30ˆj
+ 20×
20ˆi
=
10 + 20
2
⎞
⎟
⎠
=
2500
9

경상대학교 물리학과 김현수