Sistemi lineari

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Teorema Sia A una matrice non singolare di ordine n. È semprepossibile determinare due matrici, L triangolare bassa ed Utriangolare alta, dette fattori triangolari ed una matrice dipermutazione P tali chePA = LU.Tale decomposizione è unica se si imponel ii = 1, i = 1, . . . , n metodo di Doolittleoppureu ii = 1 i = 1, . . . , n metodo di Crout.
Risolvere Ax = b tramite i fattori triangolari di ASe PA = LU il sistema è equivalente ae si risolve in due passi.Si risolve dapprima il sistemaPAx = Pb ⇒ LU x = P b,(∗)Ly = Pbper sostituzione in avanti e successivamente, per sostituzioneall’indietro, il sistema(∗∗) Ux = y.Infatti un vettore ¯x che risolva l’equazione (**) in cui il termine noto èsoluzione della (*) verifica l’identità L(U¯x) = P b e quindi, dato chePA = LU, è soluzione del sistema Ax = b.
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