Sistemi lineari

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Caso m = n - Formula di CramerSia A una matrice non singolare n × n. Le componenti del vettoresoluzione del sistema Ax = b sonox k = detA kk = 1, 2, .., ndetAdove A k è la matrice che si ottiene sostituendo alla colonnak-esima di A la colonna dei termini noti.Il calcolo di un determinante di ordine n richiede (n − 1)n!operazioni ⇒ soluzione di un sistema di ordine n richiede il calcolodi n + 1 determinanti di ordine nN = (n − 1)(n + 1)!N cresce molto rapidamente all’aumentare dell’ordine n dellamatrice n = 10 → N ≈ 3.610 8 , n = 20 → N ≈ 10 21Se per eseguire un prodotto ci vogliono 10 −9 secondi, per risolvereun sistema lineare di ordine n = 20 con il metodo di Cramer siimpegano 10 12 secondi, cioè 3 · 10 4 anni !!
Inversa di una matriceLa formula classicaA −1 = 1detA A♯ ,dove A ♯ la matrice dei complementi algebricimatrice il cui elemento A ♯ (i,j) è il determinante della matrice diordine (n − 1) che si ottiene eliminando in A la riga j-esima e lacolonna i-esima moltiplicato per (−1) i+j )non calcolare mai A −1 con questa formula !!!Per avere algoritmi efficienti si devono trovare altre soluzioni,equivalenti dal punto di vista teorico, ma computazionalmentemeno onerose.⇓
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