Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

Capitolo 2Richiami di robabilità e processistocastici2.1 ProbabilitàDefinizione 2.1. Uno spazio di probabilità (Ω, F, P) una terna composta da uuinsieme Ω detto spazio dei campioni, una σ–algebra F di parti di Ω (dette eventi) euna misura di probabiità PRicordiamo che una σ–algebra è una famiglia di parti di Ω tale che• Ω ∈ F e ∅ ∈ F;• se A ∈ F allora anche A ∈ F, dove A è il complementare di A;• se A, B ∈ F allora anche A ∩ B ∈ F;Queste proprietà garantiscono anche che unioni e altre operazioni insiemistiche eseguitesui elementi di F producono altri elementi di F. Inoltre queste proprietà restanovere anche quando le unioni o intersezioni sono infinite, ma numerabili.Una probabilità P è una misura che assegna ad ogni evento A ∈ F un numeroP(A) ∈ [0, 1]; in particolare P(Ω) = 1 e P(∅) = 0. Più in generale una misura µè una applicazione da F in [0, +∞] che assegna un valore µ(A) agli elementi A diqualche σ–algebra; per essere una vera misura essa deve essere σ–additiva:se A ∩ B = ∅, allora µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)e questo deve restare vero anche per famiglie numerabili di sottoinsiemi. Una misurapuò non essere una probabilità, in particolare quando non è una misura finita nelsenso che µ(Ω) = +∞.Un tipico esempio di spazio dei campioni è R e la σ–algebra usualmente associataè quella dei boreliani B. L’usuale misura di Lebesgue λ è allora una misura non9