Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.2 Processi stocasticiPer ogni valore di x 2 questa è una densità di probabilità per cui potremo calcolarel’attesa condizionata∫µ X1 (x 2 ) = E(X 1 |x 2 ) = E(X 1 |X 2 = x 2 ) = x 1 p 1|2 (x 1 |x 2 ) dx 1che risulta essere una funzione del valore condizionante x 2 . Potremo allora definireuna nuova v.a.E(X 1 |X 2 ) = µ X1 (X 2 )per la quale si haE [E(X 1 |X 2 )] ==∫∫ ∫µ X1 (x 2 )p 2 (x 2 ) dx 2 = x 1 p 1|2 (x 1 |x 2 )p 2 (x 2 ) dx 1 dx 2∫R∫R∫Rx 1 p(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = x 1 p(x 1 ) dx 1 = E(X 1 )RRTeorema 2.2. (Teorema Limite Centrale) Se X k con k ∈ N è una successione div.a. i.i.d. con attesa µ e varianza σ 2 finite, posto S n = X 1 +. . .+X n con E(S n ) = nµe Var(S n ) = nσ 2 , si haŜ n = S n − nµσ √ nRRd−→ N(0, 1)Questo rende conto della onnipresenza della distribuzione normale: sotto ipotesipiuttosto generali, infatti, somme standardizzate di v.a. i.i.d. (quale che sia la lorodistribuzione comune) tendono a distribuirsi in maniera normale standard. Si diceanche che la legge delle X k è attratta dalla legge normale: il seguente teoremafornisce le condizioni necessarie e sufficienti perchè una legge p(x) sia attratta dallalegge normaleTeorema 2.3. Una legge con densità p(x) è attratta dalla legge normale se e solosea ∫ 2 p(x) dx|x|>a∫|x|≤a x2 p(x) dx = 0lima→+∞2.2 Processi stocasticiDefinizione 2.6. Un processo stocastico (p.s.) è una famiglia (X t ) t∈Tindicheremo anche con X(t).di v.a. cheL’insieme T degli indici può essere un intervallo continuo, ad esempio [0, +∞),oppure un insieme discreto, ad esempio N, nel qual caso parleremo di successionealeatoria. La posizione in un random walk è un esempio di p.s. a tempo discreto.I valori del processo sono presi in un insieme degli stati che può essere anche a piùdimensioni come R m . Il processo X t (ω) può quindi essere visto come una funzionedi due variabili X : R × Ω → R m : per ogni fissato t si ottiene una v.a. X t che13