Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.2 Processi stocasticie quindi in definitiva∫p 1|1 (x 3 , t 3 |x 1 , t 1 ) =Rp 1|1 (x 3 , t 3 |x 2 , t 2 )p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) dx 2 (2.1)detta anche equazione di Chapman–Kolmogorov: si tratta di una relazione che tuttele funzioni di transizione markoviane devono soddisfare. D’altra parte, con dueistanti di tempo si ha invece∫p 1 (x 2 , t 2 ) = p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 )p 1 (x 1 , t 1 ) dx 1 (2.2)Runa relazione che deve essere soddisfatta dalle distribuzioni di qualunque processostocastico.Teorema 2.4. Due funzioni di densità p 1 (x 1 , t 1 ) e p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) che soddisfano(2.2) e (2.1) definiscono in maniera unica un processo di Markov.Per un processo di Markov stazionario si hap(x) = p 1 (x, t) , p t (x 2 |x 1 ) = p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) (t = t 2 − t 1 )per cui l’equazione di Chapman–Kolmogorov diventa∫p s+t (x 3 |x 1 ) = p t (x 3 |x 2 )p s (x 2 |x 1 ) dx 2RPer processi con stati x discreti questa è una regola di moltiplicazione fra matricidi transizione. Può succedere che il processo abbia una funzione di transizione p tdipendente solo dalla differenza t = t 2 − t 1 , ma una densità p 1 (x, t) non costante neltempo: in questo caso, non strettamente stazionario, si parla di processo omogeneonel tempo. Per processi di Markov omogenei nel tempo (e in particolare per processistazionari) la forma differenziale dell’equazione di Chapman–Kolmogorov è la Masterequation∫∂ t p t (x 3 |x 1 ) = [w(x 3 |x 2 )p t (x 2 |x 1 ) − w(x 2 |x 3 )p t (x 3 |x 1 )] dx 2 (2.3)Rche è un’equazione integro–differenziale per le funzioni di transizione. Qui w(x 2 |x 1 )è la probabilità di transizione per unità di tempo definita daconp t (x 2 |x 1 ) = [1 − t w tot (x 1 )]δ(x 2 − x 1 ) + tw(x 2 |x 1 ) + o(t)∫w tot (x 1 ) =Rw(x ′ 2|x 1 ) dx ′ 2Infatti sappiamo che (con notazione un po’ semplificata)p t (x|y) → δ(x − y) , per t → 0 +17