Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

3.3 Oltre il movimento Browniano geometricoIn generale negli studi di fisica si sceglie di studiare l’incremento∆S n = ∆S(t n ) = S(t n + ∆t) − S(t n )invece dell’incremento dei logaritmi. Siccome si può dimostrare che∆S n /S n< ln S(t n + ∆t)1 + ∆S n /S n S(t n )< ∆S nS nquesta scelta è giustificata se ∆S n ≪ S n e S n varia lentamente rispetto alla scaladei tempi degli incrementi:ln S(t n + ∆t)S(t n )≈ ∆S nS n≈ ∆S nS 0Queste condizioni valgono per periodi brevi e normali (nel senso che non ci devonoessere crolli dei prezzi). Sotto queste condizioni le simulazioni mostrano che gliandamenti del MB e del MBG non sono molto differenti (Fig. 5.5). Pertanto èragionevole usare il modello additivoinvece di quello moltiplicativoS(T ) = S(0) +ln S(T ) = ln S(0) +N−1∑n=0N−1∑n=0∆S n∆ ln S nNel 1963 B. Mandelbrot avanzò l’ipotesi che i prezzi seguissero una distribuzionestabile con α < 2. Ma queste distribuzioni hanno varianze infinite, mentre i datiempirici hanno varianze ben definite. Il problema può essere risolto troncando ledistribuzioni di Lévy. In questo modo le distribuzioni del processo conservano proprietàdi scala su un esteso intervallo di valori prima che il troncamento sia efficace.Mandelbrot aveva pochi dati per poter vedere adeguatamente l’inizio del troncamento,ma la sua proposta è stata ripresa da Mantegna e Stanley (1995) con 5 annidi dati e intervalli fra le contrattazioni che arrivano fino a ∆t di 1 minuto. I risultatisono in Fig. 5.6. I valori centrali della distribuzione sono ben rappresentati da unadistribuzione stabile con α ≃ 1.4. Per variazioni più grandi, però, la distribuzionedecade in maniera quasi esponenziale. Il troncamento risulta visibile per dati presia ∆t < 10 min, mentre per intervalli di tempo più lunghi i dati non mettono inevidenza comportamenti che deviano dal comportamento alla Lévy.Altre proprietà sono messe in evidenza dallo studio delle correlazioni temporali deiprezzi. Le ipotesi del MBG assumono che i ∆S non siano correlati anche per ∆ttendente a zero. Bisogna quindi studiare la funzione di autocorrelazione del processo:Φ ∆S (t) = E[∆S(t n + t)∆S(t n )] − E[∆S(t n + t)]E[∆S(t n )]E[∆S(t n ) 2 ] − E[∆S(t n )] 241