Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.3 Calcolo stocastico2.3 Calcolo stocastico2.3.1 Integrale stocasticoIl primo problema è dare significato preciso agli integrali del tipo∫ baG(s) dW (s)dove W (t) è il processo di Wiener e G(t) un altro generico processo. La difficoltànasce dal fatto che – in base alle proprietà del processo di Wiener – la misura dW (t)risulta non essere a variazione limitata per cui la definizione del nostro integralenon può essere data traiettoria per traiettoria visto che la convergenza non sarebbegarantita. Esiste però una procedura (Itô, 1944) che consente di dare la definizionecon una convergenza in media quadratica. Tale procedura può anche essere datariproducendo la classica procedura di Riemann con una importante differenza: sidivide [a, b] in sottointervalli mediante i punti a = t 0 < t 1 < . . . < t n = b, si scelgonon punti τ i interni a ciascun sottointervallo e si definisce∫ baG(s) dW (s) = l.i.m.nn∑G(τ i )[W (t i ) − W (t i−1 )]i=1dove il limite in media quadratica è definito dal.i.m.nX n = X ⇐⇒ limnE(X n − X) 2 = 0Si può però dimostrare che (diversamente dal caso classico della definizione di integraledi Riemann) il valore di questo limite dipende dalla scelta della collocazionedei punti τ i . Consideriamo ad esempio il caso in cui G(s) = W (s), cioèe poniamo∫ baW (s) dW (s)n∑S n = W (τ i )[W (t i ) − W (t i−1 )]i=1τ i = αt i + (1 − α)t i−1 , 0 ≤ α ≤ 1Abbiamo alloran∑E(S n ) = [W (αt i + (1 − α)t i−1 )W (t i ) − W (αt i + (1 − α)t i−1 )W (t i−1 )]=i=1n∑(αt i + (1 − α)t i−1 − t i−1 ) = α(b − a)i=121