Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.1 Probabilità• F X (−∞) = 0 e F X (+∞) = 1;• F X (x) è monotona non decrescente;• F X (x) è continua da destra e ammette limite da sinistra.Si può mostrare che la conoscenza di F è equivalente alla conoscenza di P X , e inparticolareP X ([a, b]) = P{a ≤ X ≤ b} = F X (b) − F X (a)Per il Teorema di Radon–Nikodým, se P X ≪ λ esiste una densità p X (x) = dF X /dxtale cheP X ([a, b]) =∫ bap X (x) dxper cui la conoscenza di P X diventa equivalente alla conoscenza della densità p X (x).In particolare si mostra anche che∫∫E(X) = xp(x) dx , E (f(X)) = f(x)p(x) dxRNel seguito spesso supporremo che le nostre v.a. siano dotate di densità. Si noti chep(x) non è una probabilità; piuttosto si haP{x ≤ X ≤ x + dx} = P X ([x, x + dx]) = p(x) dxSe la v.a. X prende valori in R n invece che in R parleremo di vettore aleatorioX = (X 1 , . . . , X n ) e delle sue componenti X j che sono a loro volta delle v.a. Conqualche complicazione formale in più le notazioni e i concetti restano gli stessi: lefunzioni di distribuzione e di densità diventano funzioni di n variabili e in particolareP{x 1 ≤ X 1 ≤ x 1 + dx 1 , . . . , x n ≤ X n ≤ x n + dx n } = p(x 1 , . . . , x n ) dx 1 . . . dx nLa p(x 1 , . . . , x n ) si chiama anche densità congiunta delle n componenti. D’altraparte ogni componente X j è una v.a. e sarà dotata di una sua densità p j (x j ): ledensità delle componenti si chiamano densità marginali. Dalla densità congiunta sipossono sempre ricavare le marginali: ad esempio∫p 1 (x 1 ) = p(x 1 , . . . , x n ) dx 2 . . . dx nR n−1Per un vettore aleatorio X si introduce i concetto di funzione caratteristica:G X (k) = G X (k 1 , . . . , k n ) = E ( e ip·X) ∫= e ip·x p(x) d n xR nche coincide con la trasformata di Fourier della densità quando questa esiste. Qui enel seguito p·x indica il solito prodotto scalare euclideo p 1 x 1 +. . .+p n x n . Le funzionicaratteristiche sono uno strumento tecnico molto importante e si può dimostrare11R