Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.2 Processi stocasticiGli elementi diagonali sono la funzione di autocorrelazione di una componente, mentregli elementi non diagonali sono le correlazioni incrociate fra le varie componenti.Un processo di dice stazionario quando tutte le sue leggi congiunte sono invariantiper una traslazione dell’origine dei tempi:p n (x 1 , t 1 + ∆t; . . . ; x n , t n + ∆t) = p n (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n )In questo caso si verifica facilmente che le densità ad un punto sono indipendentidal tempo p 1 (x 1 ) mentre le densità a due punti dipendono solo dalla differenza frai due tempi p 2 (x 1 , x 2 ; t 2 − t 1 ).Le densità ai tempi t k+1 , . . . , t k+l condizionate dal processo ai tempi t 1 , . . . , t k sonoovviamentep l|k (x k+1 , t k+1 ; . . . ; x k+l , t k+l |x 1 , t 1 ; . . . ; x k , t k ) = p k+l(x 1 , t 1 ; . . . ; x k+l , t k+l )p k (x 1 , t 1 ; . . . ; x k , t k )In particolare avremop 2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ) = p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 )p 1 (x 1 , t 1 )e inoltre∫2.2.1 MartingaleRp 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) dx 2Definizione 2.7. Una successione di v.a. (X n ) n∈N costituisce un gioco assolutamenteequo quandoE(X 1 ) = 0 , E(X n+1 |X n , . . . , X 1 ) = 0Si noti che ovviamente, se il gioco è assolutamente equo, risulta anche E(X 1 ) =. . . = E(X n ) = . . . 0; il viceversa però non è vero. In pratica le X n rappresentanole vincite in un gioco: si tratta di v.a. che in generale non sono indipendenti perchèi giocatori possono adottare delle strategie basate sull’osservazione dell’andamentodelle precedenti mani di gioco. Un gioco è assolutamente equo quando l’osservazionedella precedente storia di giuoco non permette di costruire strategie che – in media– rechino vantaggio ad uno dei giocatori.Definizione 2.8. Una successione di v.a. (Y n ) n∈N costituisce una martingala quandoE(Y n+1 |Y n , . . . , Y 1 ) = Y nsi chiama invece submartingala o supermartingala rispettivamente quandoE(Y n+1 |Y n , . . . , Y 1 ) ≥ Y n ,E(Y n+1 |Y n , . . . , Y 1 ) ≤ Y n15