Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

3.2 Teoria di Black–Scholesdove p è il propagatorep(x, τ|y, 0) = 1 √4πτe −(x−y)2 /4τL’uso di questo propagatore gaussiano con le condizioni iniziali assegnate produce ilseguente risultatog(x, τ) = g 1 (x, τ)Φ (d 1 (x, τ)) − g 2 (x, τ)Φ (d 2 (x, τ))∫1 xΦ(x) = √ e −z2 /2 dz2π−∞g 1 (x, τ) = e (κ+1)x/2+(κ+1)2τ/4 , g 2 (x, τ) = e (κ−1)x/2+(κ−1)2 τ/4xd 1 (x, τ) = √ + κ + 1 √ x2τ , d2 (x, τ) = √ + κ − 1 √2τ2τ 22τ 2e ritornando alle variabili inizialic(s, t) = sΦ(c 1 (s, t)) − Ke −r(T −t) Φ(c 2 (s, t)) (3.14)1c 1 (s, t) =[lnσ √ s ) ](rT − t K + + σ2(T − t)21c 2 (s, t) =[lnσ √ s ) ](rT − t K + − σ2(T − t)2Il prezzo delle put options si ricava poi dalla put–call parity ed è, con le stessenotazioni,p(s, t) = −s[1 − Φ(c 1 (s, t))] + Ke −r(T −t) [1 − Φ(c 2 (s, t))] (3.15)Le formule (3.14) e (3.15) forniscono il prezzo delle call e put options al tempo tin base alle caratteristiche del contratto K e T , e tenendo conto dei parametri delmercato r e σ. Tenendo poi conto della composizione (3.6) di un risk–less portfolio,il writer eliminerà il rischio aggiustando continuamente la quantità posseduta diunderlying in base alle relazioni (3.9) δ = ∂ s o dalle quali si ricava subito nei duecasi che{∂s c(s, t) = Φ(cδ(s, t) =1 (s, t)) ∈ [0, 1], call option;∂ s p(s, t) = −[1 − Φ(c 1 (s, t))] ∈ [−1, 0], put option.Pertanto i primi termini nelle equazioni (3.14) e (3.15) rappresentano la frazione diunderlying che il writer deve comperare (call) o vendere (put) per mantenere una posizionerisk–less. Allo stesso modo i secondi termini di (3.14) e (3.15) rappresentanola quantità di denaro liquido del portfolio e nei due casi si ha{ −Ke−r(Tπ(s, t) =−t) Φ(c 2 (s, t)), call option;Ke −r(T −t) [1 − Φ(c 2 (s, t))], put option.39