Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

3.1 Nozioni inizialiSi può ora immaginare che l’evoluzione dello spot price S(t) sia come quella di undeposito in banca, ma disturbata da fluttuazioni aleatorie:dS = µS(t) dtdove si presume che il trascinamento µ sia maggiore di r per rendere appetibili irischi del mercato. Per tenere conto della natura aleatoria dell’andamento dei prezzisi aggiunge un termine aleatorio in accordo con le ipotesi di Markovianità esposteprima. Una possibile scelta, operata per ragioni di analogia e semplicità, è alloradS = µS(t) dt + σS(t) dW (t) (3.1)dove σ è un secondo parametro fenomenologico detto volatility e W (t) è un processodi Wiener. Questa formulazione suggerisce che la variabile rilevante nell’intervallodi larghezza dt non è l’incremento dS, ma l’incremento relativo dS/S detto return(rendita). A sua volta questa osservazione suggerisce di riscrivere l’equazione 3.1 comeequazione per ln S(t) invece che per S(t). Un uso ingenuo del calcolo differenzialecondurrebbe allora l’equazioned ln S = µ dt + σ dW (t)ma i risultati non sarebbero corretti. In questo caso bisogna infatti usare il calcolodifferenziale di Itô: se S(t) è un processo che soddisfa l’equazione di ItôdS = a(S, t) dt + b(S, t) dW (t)allora, data una funzione f(s, t), f(S(t), t) è un processo che soddisfa l’equazione[]df(S, t) = f t (S, t) + a(S, t)f s (S, t) + b2 (S, t)f ss (S, t) dt + b(S, t)f s (S, t) dW (t)2per cui ponendo f(s, t) = ln s, a(s, t) = µs, b(s, t) = σs si ottiene)d ln S =(µ + σ2dt + σ dW (t)2In conclusione è ln S(t) che esegue un MB con trascinamento, e non S(t) comesupposto da Bachelier; piuttosto S(t) esegue un MBG. Si verifica in tal caso che)E[d ln S] =(µ + σ2dt, Var[d ln S] = σ 2 dt2e che la funzione di transizione èp(s ′ , t ′ |s, t) =1√2π(t′ − t)σ 2 s ′2 e−[ln(s′ /s)−(µ−σ 2 /2)(t ′ −t)] 2 /2(t ′ −t)σ 231