Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

3.2 Teoria di Black–ScholesSi suppone ora che gli incrementi del portfolio siano del tipodW(t) = ∆(t)dS(t) + dΠ(t) = ∆(t)dS(t) + rΠ(t)dt (3.7)Questo praticamente vuol dire che si ritiene che ∆(t) non si modifichi nell’intervallodt. Un argomento intuitivo per giustificare questa ipotesi è che una variazione di ∆(t)è una reazione ad una fluttuazione dei prezzi S(t): pertanto la frazione di underlyingviene modificata solo dopo la variazione dei prezzi. La forma dell’incremento deldenaro liquido riflette invece l’ipotesi che il mercato sia arbitrage–free con un tassodi interesse r. Se il portfolio deve servire a far fronte alle esigenze della vendita diuna option dovrò richiedere che ∆(t) e Π(t) dipendano dal valore dell’underlyingS(t), per cui ci saranno due funzioni δ(s, t) e π(s, t) tali chein modo cheW(t) = S(t)δ(S(t), t) + π(S(t), t) ,∆(t) = δ(S(t), t) , Π(t) = π(S(t), t)dW(t) = δ(S(t), t)dS(t) + rπ(S(t), t)dtIl modello impone ora innanzitutto che il valore del portfolio sia ripagato dal prezzodell’option, per cuio(s, t) = sδ(s, t) + π(s, t) (3.8)Inoltre bisognerà richiedere che anche le variazioni di valore del portfolio sianocompensate da identiche variazioni di valore dell’option, cioè che dW(t) = dO(t).Paragonando allora (3.5) e (3.7) si ricava allora cheδ(s, t) = o s (s, t) ,rπ(s, t) = o t (s, t) + σ22 s2 o ss (s, t) (3.9)Eliminando ora δ e π fra le tre equazioni (3.8) e (3.9) si ottiene l’equazionedifferenziale di BS per le European optionso t (s, t) + σ22 s2 o ss (s, t) + rso s (s, t) − ro(s, t) = 0 (3.10)Le condizioni da imporre distinguono i casi delle put e call options: ricordando chet ∈ [0, T ] e x > 0, per le call options si hac(s, T ) = max(s − K, 0) , c(0, t) = 0 , c(s, t) ∼ s (s → +∞) (3.11)mentre per le put optionsp(s, T ) = max(K − s, 0) , p(0, t) = Ke −r(T −t) , p(+∞, t) = 0 (3.12)Queste condizioni possono essere giustificate in questo modo: le condizioni per t =T derivano dai valori dei payoff finali discussi all’inizio. Se poi s = 0 il prezzodell’underlying non cambia a causa della forma dell’EDS di S(t), pertanto una callavrà sempre valore nullo, mentre il diritto di una put sarà sempre esercitato e quindivale lo strike price K scontato del tasso di interesse risk–less. Infine se s → +∞una put non avrà valore, mentre una call avrà approssimativamente valore s.37