Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.4 Movimento browniano libero• attrito viscoso proporzionale alla quantità di moto −γMV(t) dove M è lamassa e γ il coefficiente di viscosità del fluido• disturbo esercitato dalle particelle microscopiche del fluido (movimento veloce)sulla particella mesoscopica (movimento più lento) che esegue il MB: gli urtisono istantanei e producono piccoli incrementi indipendenti della velocità; ilmodello per gli incrementi della velocità sarà quindi quello di un processo diWiener W(t) di intensità Γ.Supporremo inoltre che ci sia una forza esterna F(X(t)), per cui complessivamentel’equazione per la velocità èMdV(t) = [F(X(t)) − γMV(t)] dt + Γ dW(t) (2.17)Le due equazioni (2.16) e (2.17) costituiscono un sistema accoppiato (tramite laforza F che dipende dalla posizione X) di EDS per il processo stocastico vettorialecon componenti X(t), V(t). Si tratta quindi di un processo nello spazio delle fasi condisturbo aleatorio sulla velocità. Si dimostra che tale sistema di EDS è equivalentealla seguente equazione di Fokker–Planck per la ddp p(x , v, t) nello spazio delle fasi∂ t p(x , v, t) = −∇ x · [vp(x , v, t)] + ∇ v ·[(γv − F(x )M)p(x , v, t)]+ 1 2( ΓMdetta anche equazione di Kramers (1940).) 2∇ 2 vp(x , v, t)Ci interessiamo del caso in cui non c’è una forza esterna (equazioni disaccoppiate)e in cui il movimento è unidimensionale. In tal caso il sistema èdX(t) = V (t) dt (2.18)dV (t) = −γV (t) dt + Γ MdW (t) (2.19)e visto che sono disaccoppiate potremo cominciare con il considerare separatamentel’equazione (2.19) con condizione iniziale V (0) = V 0 . Questa equazione è ovviamenteequivalente all’equazione di Fokker–Planck∂ t p(v, t) = ∂ v [γvp(v, t)] + 1 2( ΓM) 2∂ 2 vp(v, t)per cui il processo della velocità (che prende il nome di processo di Ornstein–Uhlenbeck) potrebbe essere studiato risolvendo questa equazione. Noi invece proveremoa studiarlo come EDS.Introduciamo allora un processo ausiliario mediante la funzione f(v, t) = ve γt :Y (t) = f(V (t), t) = V (t)e γt , Y (0) = V 025