Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.2 Processi stocasticiSi può mostrare che i due operatori differenzialiL = −∂ x [a 1 (x) · ] + 1 2 ∂ xx[a 2 (x) · ] ,L † = −a 1 (x) ∂ x + 1 2 a 2(x) ∂ xxche compaiono nelle equazioni (2.5) e (2.6) sono operatori aggiunti sullo spazio dellefunzioni di quadrato integrabile, e differenziabili due volte.Invece di descrivere l’evoluzione mediante le equazioni di Fokker–Planck (evoluzionedelle densità di probabilità), possiamo descrivere direttamente l’evoluzione delletraiettorie del processo con un’equazione di LangevinẊ(t) = v[X(t)] + b[X(t)] η(t) (2.7)dove v e b non dipendono esplicitamente dal tempo perché stiamo limitando le nostreosservazioni al caso stazionario. Qui v(x) rappresenta una velocità deterministicadella particella: se non ci fosse il secondo termine l’equazione si ridurrebbe ad unatipica equazione differenziale ordinaria per un sistema dinamico. Il secondo terminerappresenta invece l’effetto del disturbo esterno: b(x) è una funzione che rappresental’intensità del disturbo, mentre η(t) è un processo stocastico detto rumore biancogaussiano caratterizzato dalle seguenti proprietà〈η(t)〉 = 0 , 〈η(t)η(t ′ )〉 = δ(t − t ′ ) , 〈η n (t)〉 = 0 , n ≥ 3 , ∀t, t ′〈η(t)v[X(t ′ )]〉 = 〈η(t)〉〈v[X(t ′ )]〉 , 〈η(t)b[X(t ′ )]〉 = 〈η(t)〉〈b[X(t ′ )]〉 , ∀t ′ ≤ tPertanto η(t) è un processo a media nulla, non correlato nè con i suoi valori a tempidiversi, nè con X(t) a tempi precedenti. Sulla base di queste ipotesi si può oramostrare (per esempio confrontando i momenti dei processi) che le due formulazioni,definiscono lo stesso processo se si identificano i coefficienti dell’equazione di Fokker–Planck (2.5) con quelli dell’equazione di Langevin (2.7) secondo il seguente schema:a 1 (x) = v(x) ,a 2 (x) = b 2 (x)Bisogna però osservare che l’equazione di Langevin (2.7) è matematicamente errata:supponiamo ad esempio di considerare il caso particolare v(x) = 0 e b(x) = 1 percuiẊ(t) = η(t) , X(t) =∫ t0η(s) dscon condizione iniziale X(0) = 0. La corrispondente equazione di Fokker–Planck è∂ t p(x, t) = 1 2 ∂ xxp(x, t) (2.8)e la soluzione con condizione iniziale p(x, 0) = δ(x) (cioè X(0) = 0) èp(x, t) = 1 √2πte −x2 /2t(2.9)19