Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.4 Movimento browniano liberoe quindi in definitivaΓ 2 = 2γMk B Tun esempio di relazioni fluttuazione–dissipazione che connettono le costanti relativeall’attrito (dissipazione) a quelle relative alla fluttuazione: γ e Γ non possono esserescelte in maniera indipendente. Con gli stessi metodi si dimostra anche cheE(V (t)V (s)) =[E(V 20 ) − k BTM]e −γ(t+s) + k BTMe−γ|t−s|per cui per t, s → +∞ (ma |t − s| finito) si ha un comportamento stazionarioE(V (t)V (s)) ∼ k BTMe−γ|t−s|Dagli elementi così raccolti possiamo ora determinare anche la funzione di transizionedel processo della velocità di Ornstein–Uhlenbeck: posto per comoditàavremoX(t) = v 0γµ(t) = v 0 e −γt ,p(v, t|v 0 , 0) =σ 2 (t) = k BTM(1 − e−γt ) +√2γkB TM(1 − e−2γt )1√2πσ2 (t) e(x−µ(t))2 /2σ 2 (t)A partire dal processo V (t) possiamo poi ricostruire anche il processo X(t) integrandol’equazione (2.18): ponendo X(0) = 0 e V (0) = V 0 = v 0 da (2.20) siottiene∫ t ∫ t ′dt ′ e −γt′ e γs dW (s)da cui si possono ottenere tutte le proprietà del processo. In particolare per t → +∞si haE(X(t)) = v 0( ) 1 − e−γt→ v 0(2.21)γγmentre per il secondo momento per t → +∞ si haE(X 2 (t)) ∼ 2k BTMγ tcoerentemente con il carattere diffusivo del MB. A tempi brevi invece c’e’ un periododi rilassamento verso l’equilibrio del processo delle velocità. Anche la funzione diautocorrelazione può essere facilmente calcolata e si ha00E(X(t)X(s)) = k BTM[ 2γ min(s, t) − 1 γ 2 (1 − e −γs − e −γt + e −γ|t−s|)] (2.22)Il processo X(t) è gaussiano (combinazione di v.a. gaussiane) e quindi è completamentespecificato quando sono assegnati i primi due momenti, nel senso che è27