ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA

1.3 Funzioni di distribuzione 11
dchisq(x, df, ncp=0, log = FALSE)
pchisq(q, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qchisq(p, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
df è il numero di gradi di libertà. È anche possibile calcolare la distribuzione di χ2 non centrale,
specificando un valore positivo per il parametro di non centralità ncp. Per un esempio del suo utilizzo
si veda la sezione 5.3.
1.3.6 Distribuzione t
Il rapporto fra una variabile casuale normale standard e la radice di una variabile casuale ∼ χ 2 (n)
divisa per n segue una distribuzione di t di Student a n gradi di libertà.
dt(x, df, ncp=0, log = FALSE)
pt(q, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qt(p, df, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
df rappresenta il numero di gradi di libertà. Specificando un valore positivo per ncp si può calcolare
la distribuzione di t non centrale.
1.3.7 Distribuzione F
Il rapporto di due variabili casuali indipendenti distribuite rispettivamente ∼ χ 2 (df1) e ∼ χ 2 (df2),
ognuna divisa per i rispettivi gradi di libertà, è distribuito secondo la distribuzione F a (df1, df2)
gradi di libertà.
df(x, df1, df2, log = FALSE)
pf(q, df1, df2, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qf(p, df1, df2, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
df1 e df2 sono i gradi di libertà di numeratore e denominatore.
1.3.8 Distribuzione normale multivariata
Per lo studio di campioni su cui sono misurate più variabili è spesso necessario ricorrere alla funzione
di distribuzione normale multivariata, generalizzazione della distribuzione normale in più dimensioni.
Si supponga di misurare su un campione p variabili, tutte di distribuzione normale e fra loro
indipendenti. Sia µ il vettore che contiene le medie di dette variabili e Σ la loro matrice di covarianza.
La densità:
g(x) =
1
(2π) p/2|Σ|−1/2 exp[− 1
2 (x−µ)T Σ −1 (x−µ)] , |Σ| = det(Σ) (1.1)
è detta densità normale multivariata.
L’ipotesi di indipendenza tra le variabili è fondamentale in quanto, se esse risultano tra loro dipendenti,
è possibile che una ad una siano normalmente distribuite, ma che nell’insieme non soddisfino
l’ipotesi di normalità multivariata. Un classico esempio coinvolge le variabili X ∼ N(0,1) e Y così
definita:
�
X se |X| ≥ 1
Y =
−X se |X| < 1
in questo caso sia X che Y hanno distribuzione normale, ma la loro distribuzione congiunta non è
normale multivariata.
LafunzionedidistribuzionenormalemultivariataèaccessibileinRdopol’installazionedellalibreria
aggiuntiva mvtnorm, scaricabile dal sito della distribuzione [44]. Tale libreria implementa la funzione
dmvnorm, che ritorna la densità di probabilità normale multivariata e la funzione rmvnorm che
permette di generare dati da una distibuzione specificata.