ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA

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22 <strong>STATISTICA</strong> CLASSICA: TEST T , TEST χ 2 E CORRELAZIONE di correlazione, ossia la matrice p×p il cui elemento i,j è il coefficiente di correlazione fra le variabili i e j (la matrice è quindi simmetrica, con elementi sulla diagonale pari a 1). Per stabilire la significatività di queste correlazioni è però necessario introdurre una correzione dovuta al fatto che si conducono più test simultaneamente (confronti multipli). La ragione di questa correzione è chiara se si considera un esperimento a tre variabili. La probabilità di non rifiutare correttamente l’ipotesi nulla che non vi sia correlazione fra le prime due variabili è 1 − α (dove α è il livello del test scelto dallo sperimentatore). Analogamente anche la probabilità di non rifiutare correttamente l’ipotesi nulla che non vi sia correlazione fra la prima e la terza variabile è 1−α, e così pure per quanto riguarda la seconda e la terza variabile. Se si considerano indipendenti tali confronti la probabilità congiunta di non rifiutare l’ipotesi nulla che non esista correlazione fra nessuna delle coppie di variabili è: (1−α) 3 < 1−α. Nel caso in esame scegliendo α = 0.05 si ha (1−α) 3 ∼ 0.86, quindi se ogni test viene condotto a livello del 5% il test globale è a livello del 14%. Si rischia quindi di dichiarare significative più differenze di quante non sia opportuno. Il modo più comune per fronteggiare questo comportamento indesiderato è ricorrere alla correzione di Bonferroni che modifica il livello a cui eseguire ogni singolo confronto in modo tale che il livello del test globale rimanga α. Questa correzione richiede che ogni test singolo sia condotto a livello α/N dove: N = p(p−1) 2 è il numero di confronti che si eseguono. Nel caso in esame ogni test parziale deve essere eseguito a livello α = 0.05/3 = 0.017, cioè si dichiareranno significative solo le correlazioni con valore P inferiore a 0.017 e altamente significative quelle con valore P minore di 0.01/3 = 0.0033. La tecnica presentata è equivalente alla correzione dei valori P dei singoli test: si moltiplica per N ogni valore P (con la condizione di porre pari a 1 eventuali valori che, dopo la correzione, superino tale soglia) e si confrontano i valori ottenuti con il livello α. Altri classici metodi di correzione per confronti multipli sono dovuti a Holm e a Hochberg. Mentre il secondo è applicabile solo nel caso di test indipendenti il primo è del tutto generale. Data la sua superiore potenza rispetto al metodo di Bonferroni è da considerarsi il metodo d’elezione. Il suo funzionamento è il seguente: si supponga di avere svolto k test simultanei e di aver calcolato per ogni test il rispettivo valore P. Si dispongono tali valori in ordine crescente: Si calcolano quindi i valori P corretti: P1 ≤ P2 ≤ ... ≤ Pk. P ′ i = (k −i+1) Pi. Procedendo da sinistra a destra si controlla poi se alcuni di tali valori risultano più piccoli di quelli che compaiono immediatamente alla sinistra. In caso ciò avvenga, si corregge il minore sostituendolo con il valore che compare alla sua sinistra. Si confrontano quindi i valori P ′ così ottenuti con il livello di significatività α. Esempio In un esperimento si conducono 5 test tra loro non indipendenti. I valori P di tali test sono nel vettore seguente: > p
2.3 Test di correlazione 23 > p.adjust(p, "bonferroni") [1] 0.005 1.000 0.125 0.055 0.350 > p.adjust(p, "holm") [1] 0.005 0.200 0.075 0.044 0.140 La funzione accetta come input due argomenti: un vettore contenete i valori P da correggeree il nome della tecnica da utilizzare (si rimanda alla pagina del manuale della funzione per ulteriori possibili scelte). Nel caso di correzione di Bonferroni i valori P sono semplicemente moltiplicati per il numero di test (in questo caso per 5). Si vede che il metodo di Holm è più potente ritornando valori P inferiori o pari a quelli del metodo di Bonferroni.
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