ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA

3.5 Autocorrelazione e serie temporali 39
standardized residuals
−40 −20 0 20
200 220 240 260 280
mod$fitted
−2 −1 0 1 2 3
180 200 220 240 260 280
Figura 3.10: Analisi dei residui per l’Esempio 3.4.1. A sinistra il grafico dei residui standardizzati
contro i valori fittati dal modello lineare evidenzia problemi di eteroschedasticità. A destra il
corrispondente grafico per il modello GLS mostra che il problema può essere risolto da questa tecnica.
3.5 Autocorrelazione e serie temporali
I metodi di regressionediscussi in precedenza assumonoche vi sia indipendenza fra i residui. Se questa
condizione non èsoddisfatta il rischio èquello di avereuna stima fortemente distorta(per eccessooper
difetto) degli errorisui parametri di regressione. Per correggerequesto andamento è possibile ricorrere
a tecniche che permettono di avere una stima corretta delle variabili di regressione, specificando un
preciso schema di correlazione fra le varie rilevazioni.
Il principale effetto di dipendenza è dovuto a correlazioni spaziali o temporali fra le varie osservazioni.
Ad esempio fenomeni climatici o economici di solito presentano dipendenza temporale, nel
senso che il presente dipende dal passato, mentre in uno studio agrario è facile che vi sia dipendenza
spaziale nel senso che parcelle vicine tendono ad assomigliarsi ai fini dell’esperimento. Nel seguito si
tratteranno esclusivamente casi di dipendenza temporale. Per ulteriori dettagli sull’argomento e sulle
problematiche connesse si rimanda alla vasta letteratura disponibile, ad esempio [12, 49].
Il modello che si assume è:
y = βX +ε
dove si suppone che sia:
standardized residuals
ε ∼ N(0,Σ)
con Σ, matrice di covarianza d’errore, simmetrica e semidefinita positiva. Nel caso di regressione
ordinaria essa coincide con la matrice identica; nel caso di regressione pesata trattata in Sec. 3.4 ha
elementi fuori diagonale nulli e elementi diversi sulla diagonale principale. Nel caso più generale che
interessa in questa sezione si suppone che gli elementi fuori diagonale siano a loro volta non nulli. Nel
caso in cui la forma di Σ sia nota il problema di determinare le stime ˆ β dei parametri di regressione
è facilmente risolto con le tecniche presentate in precedenza (GLS). Ovviamente questo non è quasi
mai il caso e si pone il problema di determinare, a partire dai dati, anche gli elementi della matrice di
covarianza d’errore. Per ridurre la complessità del problema (gli elementi di Σ da stimare sono ben
n(n−1)/2) è indispensabile introdurre delle semplificazioni che vincolano la struttura di Σ.
3.5.1 Varie forme di autocorrelazione
La stima GLS può essere effettuata assumendo un modello specifico di dipendenza fra i residui. Il
modello più semplice, chiamato modello autoregressivo di ritardo (o lag) 1, o AR(1), presuppone che
valgano le seguenti ipotesi:
mod1$fitted