ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA

3.3 Trasformazione dei dati 33
rstandard(mod)
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0 20 40 60 80 100
mod$fitted
−2 −1 0 1
2 4 6 8 10
Figura3.5: Analisideiresiduiperl’Esempio3.3.1. Asinistrailgraficodei residuistandardizzaticontro
i valori fittati dal modello lineare evidenzia forti problemi di non linearità. A destra il corrispondente
graficoperilmodellotrasformatomostracheilproblemaèstatorisoltodallatrasformazionet(y) = √ y.
Esempio
Un nuovo centro commerciale inizia una campagna pubblicitaria per incrementare il numero dei suoi
clienti. Il numero medio di visitatori per unità di tempo viene monitorato per 20 settimane dopo
l’inizio della promozione. I dati sono quelli inseriti nei due vettori tempo e visitatori.
> tempo visitatori mod plot(mod$fitted, rstandard(mod))
Dall’analisi del grafico risulta evidente che vi è un forte problema di non linearità. Tramite il metodo
di Box-Cox si può tentare di stimare la miglior correzione da apportare ai dati. La chiamata:
> library(MASS) # caricamento della libreria MASS
> boxcox(visitatori ~ tempo, lambda=seq(0.3, 0.6, by=0.01))
produce il grafico a sinistra in Fig. 3.6. Sull’asse delle ascisse, il cui range e densità di campionamento
possono essere impostati mediante l’opzione lambda, si leggono i valori del parametro λ. La miglior
trasformazione possibile corrisponde al valore per cui la curva ha il suo massimo. La libreria MASS,
che mette a disposizione la funzione boxcox, fa parte della distribuzione standard di R.
Dal graficosi può leggerela stima della migliortrasformazioneda applicarealla variabiley. Questa
stima viene fatta tramite il metodo di maximum likelihood, assumendo normalità degli errori. Per
ulteriori dettagli sul procedimento si rimanda a [26, 59]. Il risultato migliore è λ ∼ 0.45, ma per
ragioni di semplicità di interpretazione è più opportuno scegliere il valore λ = 0.5 (trasformazione
radice quadrata), valore che cade sul margine destro dell’intervallo di confidenza.
Si fitta quindi il modello trasformato e si analizzano i residui (a destra in Fig. 3.5):
> mod1 plot(mod1$fitted, rstandard(mod1))
Si nota che i problemi del modello precedente vengono risolti dalla trasformazione scelta. A destra in
Fig. 3.6 sono riportati i punti sperimentali e i due fit. �
rstandard(mod1)
mod1$fitted