ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA

3.4 Minimi quadrati generalizzati 35
3.4.1 Minimi quadrati pesati
Se gli errori sono scorrelati, ma la varianza non è uniforme (eteroschedasticità), la matrice Σ è diagonale.
Se la sua forma è nota o calcolabile dai dati si utilizza la tecnica dei minimi quadrati pesati
(Weighted Least Squares, WLS). Si ha quindi Σ = diag(1/w1,...,1/wn) dove gli elementi wi sono
detti pesi.
Esempio
Si vuole valutare se la resadi una coltivazione(in una opportuna unità di misura) dipenda linearmente
dalla piovosità mensile (in mm). Ai fini dell’esperimento il campo viene diviso in 5 sottoparcelle;
mensilmente si valuta la resa di ognuna di esse. L’esperimento viene portato avanti per 10 mesi.
Si inizia l’analisi inserendo i dati relativi alla resa mensile delle sottoparcelle e delle piovosità
mensili:
> resa1 resa2 resa3 resa4 resa5 resa pioggia p gruppo mod plot(mod$fitted, rstandard(mod))
Il grafico dei residui (a sinistra in Fig. 3.7) mostra evidenti problemi di eteroschedasticità. Per tentare
di risolverli si può fittare il modello WLS, dove i pesi sono gli inversi delle varianze mensili delle rese
dei campi.
> var.m var.m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.8 5.7 10.3 5.2 20.2 28.5 110.7 115.7 28.2 40.8
> mod1 plot(mod1$fitted, rstandard(mod1))
L’opzione weights permette di specificare il peso da assegnare all’osservazione corrispondente. Si noti
che essendo il vettore var.m di dimensione 10 è necessario usare la funzione rep(var.m,5) per renderlo
della lunghezza necessaria. Il grafico dei residui (a destra in Fig. 3.7) mostra che il problema di
eteroschedasticità è stato risolto. Il suo particolare aspetto, in cui si notano degli andamenti caratteristici,
lascia comunque dei dubbi sulla pianificazione dell’esperimento. Probabilmente l’introduzione
di qualche altra variabile (ad esempio la temperatura) avrebbe migliorato il modello lineare.
La significatività del modello si controlla con la chiamata usuale:
> summary(mod1)
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