Syferkommunikasie ESC320 / EDC310

4.2.3 Selfstudie-aktiwiteite
Doen die volgende oefeninge uit [1] Hoofstuk 2:
Syferkommunikasie ESC320 / EDC310
1. Skryf die formules vir die eksponensiële Fourier-reeksuitbreiding van 'n periodieke sein, v(t), neer. Toon dat
dit 'n vorm van Gram-Schmidt-ortogonalisasie is waar die ortogonale basis gedefinieer word as:
waar T die periode is en 0=2 /T die verhouding tussen hoekfrekwensie in radians/sekonde [r/s], en die
periode, T. n=n. 0, met n 'n heeltalfrekwensie-indeks wat die spektraallynkomponente van x(t) nommer.
WENKE: Kyk in [1] hoofstuk 2 § 2.7 vir agtergrondinligting oor die voorstelling van seine met ortogonale
seinstelle (basisse), tesame met ‘n kort oorsig van vektornotasie en die definisie van skalaarproduk,
norm, projeksie en die voorwaardes vir ortogonaliteit.
2. Lei 'n uitdrukking af vir die Fourier-transform (FT) van die periodieke sein x(t) wat in 1 vgl (1) hierbo
omskryf word.
3. In die algemeenste vorm daarvan word die konsep modulasie omskryf as die vermenigvuldiging van twee
seine in die tyddomein. Die resultaat of uitkoms van die modulasie (of vermenigvuldiging) proses sal dan
'n funksie wees van die kenmerke van die onderlinge vermenigvuldigingseine en veral van hulle
spektraal-kenmerke. Aangesien die samestellende seinkomponente óf wyeband (nie-monochromaties) of
nouband (monochromaties) kan wees, is daar eintlik drie unieke uitkomste (uitsette) uit 'n totaal van vier
moontlike kombinasies:
(i) Geval 1 (Monochromatiese vermenging): Beide seine (vermenigvuldigerseine) is nouband 1
(monochromaties): Wanneer beide seine suiwer monochromaties (enkelfrekwensie) is, is hulle per
definisie cosinusvormig (sinusvormig). Vermenigvulding lei dus tot frekwensie-omsetting
(vermenging) wat weer tot 'n uitsetsein lei wat bestaan uit die som van twee monochromatiese
komponente, een by die som- en die ander by die verskilfrekwensie, volgens die trigonometriese
identiteite:
1
2
cos A.cos B = cos( A − B) + cos( A + B)
or
1
2
sin A.sin B = cos( A − B) − cos( A + B)
or
φ(
t)
T e
T e
1 1
0 = =
1
2
jnω t jω t
sin A.cos B = sin( A − B) + sin( A + B)
ESC320_GIDS2_2011 Departement Elektriese, Elektroniese en Rekenaaringenieurswese, UP LPL/2011
1
2
1
2
1
2
27
vgl (2)
(ii) Geval 2 (nie-monochromatiese vermenging) 2 : Beide seine is nie-monochromaties (betreklik
wyeband): Aangesien nie een van die vermenigvuldigerseine monochromaties is nie, kan die
produk nie enige monochromatiese komponente oplewer nie. In die geval van twee nulsenterfrekwensie
(basisband) seine sal die produk slegs tot een nul-middelfrekwensie-wyeband
1 Nou band beteken hier dat die seinbandwydte veel kleiner as die middelfrekwenie is. Dit is ook die definisie van
'n RF-sein, teenoor 'n basisbandsein. Draerseine hoort tot hierdie klas.
2 Let op dat Geval 2 hierbo monstering (kyk na [1] §2.4 en Hoofstuk 6), insluit, dit wil sê een van die nie-monochromatiese
seine behels 'n periodieke (moontlik wyeband- en hoofsaaklik 'n mate van herhalende puls of
impulsagtige) sein en die ander 'n arbitrêre (gewoonlik) nie-periodieke wyebandsein.
n
vgl (1)