1 - Signal Processing Systems

Hoofdstuk 1
Signalen en systemen in de discrete tijd
1.1 Tijddiscrete signalen
Een tijddiscreet signaal Ò℄ is een rij van waarden, gedefinieerd voor gehele (discrete) waarden van
Ò. Zo’n signaal verkrijgen we bijv. wanneer we iedere 10 min. een temperatuurmeting uitvoeren en
de meetwaarden noteren. Indien we het tijdcontinue verloop van de temperatuur aanduiden met ´Øµ
dan is Ò℄ de bemonstering van dit continue signaal waarvoor geldt Ò℄ ´ÒÌ µ. Hetbemonsteringsinterval
Ì is dan gelijk aan 10 min..
De nummering Ò kan dus samenhangen met de tijd, maar kan ook samenhangen met een andere
variabele zoals bijv. de plaats, de frequentie of de rentestand. Voor het gemak zullen we, tenzij anders
vermeld wordt, Ò als een discrete tijdvariabele beschouwen.
Het tijdcontinue signaal ´Øµ wordt een analoog signaal genoemd terwijl het tijddiscrete signaal Ò℄
kortheidshalve als een discreet signaal wordt aangeduid.
De waarden Ò℄ kunnen worden omgezet in getallen zodat ze digitaal kunnen worden bewerkt; in dat
geval noemen we Ò℄ een digitaal signaal.
In Fig. 1.1 is een grafische presentatie van een digitaal signaal geschetst.
Ø
Ø Ø
Ò℄
4
3
2
1
Ø 0
¹ Ò
-4 -3 -2 -1 Ø 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Figuur 1.1: Voorbeeld van een digitaal signaal.
Opmerking
We onderscheiden een tijddiscreet signaal (zoals Ò℄) van een tijdcontinu signaal (zoals ´Øµ),
1

2 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
door bij tijddiscrete signalen met rechte haken ‘[ ]’ te werken terwijl we bij tijdcontinue signalen
kromme haken ‘( )’ gebruiken. Dit onderscheid maakt het mogelijk om hetzelfde grondsymbool
voor de twee (verschillende) functies Ò℄ en ´Øµ te gebruiken.
Enkele speciale tijddiscrete signalen zijn de eenheidsimpuls, de eenheidsstap en het sinusoïdale signaal;
de definities van deze signalen zijn hieronder gegeven.
1
×
ÆÒ℄
Eenheidsimpuls : ÆÒ℄
´
½ voor Ò ¼
¼ voor Ò ¼
× × × ×
× × × × × ×
¹ Ò
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Ò℄
1× × × × × × ×
Eenheidsstap : Ò℄
´
½ voor Ò ¼
¼ voor Ò¼
× × × ×
¹ Ò
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
×
×
×
Sinusoïdaal signaal : Ò℄ ×Ò´Ò · µ ¹ Ò
×
× ×
×
×
×
×
×
N.B.
Een sinusoïdaal signaal is in het algemeen niet periodiek; het is slechts periodiek als de verhouding
rationaal is.
1.2 Het bewerken van tijdcontinue signalen met behulp van digitale
systemen
Een analoog signaal ܴص kan door een analoog (tijdcontinu) systeem worden bewerkt en zo worden
omgezet in een (analoog) uitgangssignaal ݴص; het ‘bewerkende’ systeem noemen we een overdrachtssysteem
ܴص ݴص. We beschouwen slechts lineaire systemen. Het analoge systeem is
dan opgebouwd uit geheugenvrije elementen (zoals weerstanden en transistoren) plus elementen met
geheugen (spoelen en condensatoren); het opnemen van elementen met geheugen zorgt ervoor dat het
systeem frequentieafhankelijk wordt.
Het is echter ook mogelijk om de signaalbewerking ܴص ݴص m.b.v. digitale middelen (digitale
signaalbewerking) te doen. In Fig. 1.2 en op de omslag van dit dictaat is aangegeven welke weg het
signaal daarvoor moet doorlopen.
Het analoge signaal ܴص (spanning of stroom) wordt eerst bemonsterd door op equidistante tijdstippen
dit signaal te meten (bemonsteren) en de meetwaarden via een analoog-digitaal (A/D) omzetter om
te zetten in digitale meetwaarden: ÜÒ℄ Ü´ÒÌ µ.

1.3. De elementen van een digitaal filter 3
Elektrisch
analoog
systeem
Elektrisch
analoog
systeem
ܴص
ݴص
Bemonsteren
Ì
Interpolatie
Omzetten
in
getallen
ÜÒ℄ ¹ Digitaal
filter
ÝÒ℄
Omzetten van
getallen in
elektrisch
signaal
Figuur 1.2: Signaalbewerking met digitale middelen.
Het digitale filter wordt nu geëxciteerd door het digitale ingangssignaal ÜÒ℄; het berekent voor iedere
opeenvolgende Ò een nieuwe waarde voor het digitale uitgangssignaal ÝÒ℄ en vormt zo een (digitaal)
overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄. Het signaal ÝÒ℄ is dan de ‘bewerkte’ versie van het signaal ÜÒ℄.
De opeenvolgende getallen ÝÒ℄ worden daarna in een digitaal-analoog (D/A) omzetter omgezet in
een elektrisch signaal (spanning of stroom). Omdat er steeds een tijdinterval Ì verloopt tussen de
opeenvolgende waarden van ÝÒ℄ zal het hieruit volgende elektrische signaal sprongsgewijs verlopen.
Een elektrisch (tijdcontinu) interpolatiefilter heeft daarom de taak om het elektrisch signaal ‘glad’ en
continu te laten verlopen.
Uiteindelijk verkrijgen we dan het analoge elektrische uitgangssignaal ݴص dat een ‘bewerkte’ versie
is van het analoge ingangssignaal ܴص.
Opmerking
In een digitaal filter kunnen slechts getallen met een eindige woordlengte bewerkt worden;
daarom is kwantisering nodig. De ongewenste effecten van deze kwantisering zullen we in
Hfdst. 5 beschouwen.
1.3 De elementen van een digitaal filter
We beschouwen voorlopig digitale filters die opgebouwd zijn uit een drietal lineaire elementen: de
opteller, devermenigvuldiger en de vertrager (ofwel geheugenelement); de symbolen en de definities
voor deze elementen zijn in Fig. 1.3 gegeven.
De vermenigvuldigingsfactor « is constant en reëel.
We zullen zien dat door het opnemen van geheugenelementen, frequentieafhankelijke filters kunnen
worden gerealiseerd.

4 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
½ Ò℄
¾ Ò℄
Ê·
½ Ò℄· ¾ Ò℄
¹
Ò℄ «Ò℄
¹ « ¹
Ò℄
¹
Ò ½℄
¹
Figuur 1.3: De lineaire elementen van digitale filters: van links naar rechts de opteller, de vermenigvuldiger
en de vertrager.
Overigens zullen we later ook andere elementen in beschouwing nemen, zoals de kwantisator, de
bemonsteringfrequentie-verlager en -verhoger.
Een digitaal filter is een overdrachtssysteem dat is opgebouwd uit een eindig aantal elementen. Het
systeem wordt geëxciteerd door één ingangssignaal ÜÒ℄ en we beschouwen één signaal ÝÒ℄ als
het uitgangssignaal (de responsie) van het systeem. In Fig. 1.4 is een algemeen filter schetsmatig
weergeven.
ÜÒ℄
Ê ·
ÝÒ℄
¹ ¹ ¹ « ¹ ¹ ¹ ¹
Figuur 1.4: Het digitale filter als black box.
1.4 De toestandsbeschrijving van het systeem
In Fig. 1.5 is het algemene systeem opnieuw getekend; nu zijn echter slechts de optellers en vermenigvuldigers
in een ‘black box’ getekend terwijl, behalve het ingangs- en uitgangssignaal, de vertragers
uitwendig aan de box zijn aangesloten.
ÜÒ℄
Ê ·
ÝÒ℄
¹ ¹ ¹ « ¹
¹
¹
× ½Ò ·½℄ × ½Ò℄
¹
× ¾Ò·½℄ × ¾Ò℄
¡¡¡ ¹
× ÄÒ·½℄ × ÄÒ℄
Figuur 1.5: Het digitale filter als black box met naar buiten gevoerde geheugenelementen.
De box ontvangt een aantal signalen aan zijn ingangen (ÜÒ℄, × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄), combineert
deze signalen op een lineaire manier en vormt zo de van de box uitgaande signalen (ÝÒ℄, × ½ Ò ·½℄,
× ¾ Ò·½℄¡¡¡× Ä Ò·½℄).

1.5. De eigenfunctie Þ Ò van het systeem 5
Op een bepaald moment Ò ¼ wordt het ingangssignaal ÜÒ ¼ ℄ aan de box aangeboden terwijl de
geheugenelementen de waarden × ½ Ò ¼ ℄, × ¾ Ò ¼ ℄ ¡¡¡× Ä Ò ¼ ℄hebben; hiervan uitgaand berekent de box
dan de waarde ÝÒ ¼ ℄ van het uitgangssignaal en ook de nieuwe inhouden van de geheugenelementen
(× ½ Ò ¼ ·½℄, × ¾ Ò ¼·½℄¡¡¡× Ä Ò ¼·½℄). Daarna staat het systeem klaar om de volgende waarde van
het ingangssignaal te ontvangen en opnieuw de berekeningen uit te voeren; enz. enz.
De uit de box komende signalen worden berekend door de ingaande signalen te combineren m.b.v. de
operaties ‘optellen’ en ‘vermenigvuldigen met constanten’. Ieder uitgaand signaal is dus een lineaire
combinatie van de ingaande signalen. De vergelijkingen zullen daarom de volgende vorm hebben:
ÝÒ℄ ½ × ½ Ò℄· ¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· Ä × Ä Ò℄·ÜÒ℄
× ½ Ò ·½℄ ½½ × ½ Ò℄· ½¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ½Ä × Ä Ò℄· ½ ÜÒ℄
× ¾ Ò·½℄ ¾½ × ½ Ò℄· ¾¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ¾Ä × Ä Ò℄· ¾ ÜÒ℄
.
.
. (1.1)
× Ä Ò ·½℄ Ľ × ½ Ò℄· ľ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ÄÄ × Ä Ò℄· Ä ÜÒ℄
In matrixnotatie noteren we deze vergelijkingen als:
met
ÝÒ℄ ×Ò℄·ÜÒ℄ en ×Ò ·½℄×Ò℄·ÜÒ℄ (1.2)
¾
¿
½½ ½¾ ¡¡¡ ½Ä
¾½ ¾¾ ¡¡¡ ¾Ä
. . .
Ľ ľ ¡¡¡ ÄÄ
¾
¿
½
¾
.
Ä
½ ¾ ¡¡¡ Ä ℄ en ×Ò℄
¾
× ½ Ò℄
× ¾ Ò℄
.
× Ä Ò℄
De parameters ½½ ¡¡¡ ÄÄ ½ ¡¡¡ Ä ½ ¡¡¡ Ä en (en daarmee ook de waarden van de matrix
en van de vectoren en ) worden bepaald door de structuur van het systeem en door de waarden
van de vermenigvuldigers.
De variabelen × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄ heten de toestandsvariabelen (Engels: state variables); zij zijn
veroorzaakt door het verleden van het signaalverloop, zijn opgeslagen in de geheugenelementen en
bepalen tezamen met het ingangssignaal ÜÒ℄, het toekomstige verloop van de variabelen. De vergelijkingen
(1.1) en (1.2) heten de toestandsvergelijkingen en de vector ×Ò℄ heet de toestandsvector.
Verg. (1.1) en (1.2) zeggen dus: uit het ingangssignaal en de toestand op een bepaald moment volgt
(d.m.v. lineaire combinatie) ten eerste het uitgangssignaal en ten tweede de volgende toestand van het
systeem.
Indien de toestand ×Ò ¼ ℄ op een bepaald moment Ò ¼ bekend is en het ingangssignaal ÜÒ℄ bekend is
vanaf dat moment Ò ¼ , kan m.b.v. verg. (1.1) de toestand en het uitgangssignaal voor Ò Ò ¼ achtereenvolgens
worden bepaald:
¿
ÝÒ ¼ ℄×Ò ¼ ℄·ÜÒ ¼ ℄×Ò ¼ ·½℄×Ò ¼ ℄·ÜÒ ¼ ℄
ÝÒ ¼·½℄×Ò ¼·½℄·ÜÒ ¼ ·½℄×Ò ¼·¾℄×Ò ¼ ·½℄·ÜÒ ¼·½℄
ÝÒ ¼·¾℄×Ò ¼·¾℄·ÜÒ ¼ ·¾℄×Ò ¼·¿℄×Ò ¼ ·¾℄·ÜÒ ¼·¾℄
Voorbeeld 1.4.1 Ga na dat voor de schakeling van Fig. 1.6 geldt
¾
¿
×Ò ·½℄ · ¼ ½
¼ ¼ ×Ò℄·
´ · µ ½
¾
½ ¼
¿
ÜÒ℄
en ÝÒ℄ ´·µ´ · µ ´ · µ℄ ×Ò℄·´· µÜÒ℄.
enz. enz.

6 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
¹
¹
¹
·
¹ ÝÒ℄
ÜÒ℄
¹ · ¹ × ½ Ò℄
¹ ¹ × ¾ Ò℄¹ · ¹ × ¿ Ò℄¹ ·
Á
¹
Figuur 1.6: Voorbeeld.
1.5 De eigenfunctie Þ Ò van het systeem
Voor de tijdcontinue lineaire tijdonafhankelijke overdrachtssystemen is het signaal ×Ø een eigenfunctie;
het rekenen met deze signalen is eenvoudig en is van voordeel om de algemene systeemeigenschappen
te beschrijven.
Bij de nu beschouwde tijddiscrete systemen zoeken we ook naar zulke eigenfuncties, d.w.z. naar
functies ÕÒ℄ die onvervormd door het systeem worden doorgegeven. Met ‘onvervormd’ bedoelen we
dat indien het ingangssignaal gelijk is aan ÜÒ℄ ÕÒ℄, het uitgangssignaal slechts een factor scheelt
met het ingangssignaal: ÝÒ℄ factor ¢ ÕÒ℄.
We beschouwen eerst een eenvoudig systeem dat slechts uit één vertrager bestaat en proberen een
eigenfunctie ÕÒ℄ van dit systeem te vinden.
Voor de vertrager met ingangssignaal ÕÒ℄ is het uitgangssignaal gelijk aan ÕÒ ½℄; zie linkerhelft
van Fig. 1.7. Indien ÕÒ℄ een eigenfunctie is moeten ingangs- en uitgangssignaal evenredig aan elkaar
zijn d.w.z. ÕÒ℄ ÞÕÒ ½℄ ofwel ÕÒ ½℄ Þ ½ ÕÒ℄. Dan geldt dus
ÕÒ℄ ÞÕÒ ½℄ Þ ¾ ÕÒ ¾℄ Þ ¿ ÕÒ ¿℄ ¡¡¡ Þ Ò Õ¼℄ ¡¡¡
waaruit we concluderen dat de eigenfunctie ÕÒ℄ een meetkundige rij is met een willekeurig reden Þ:
ÕÒ℄ Õ¼℄Þ Ò
ÕÒ℄
¹ ÕÒ ¹
½℄ Þ Ò ¹ Þ
Þ ½ ¹
Ò ½
Figuur 1.7: Symbolen voor de vertrager.
In de rechterhelft van Fig. 1.7 is de tijdvertrager nogmaals getekend met een ingangssignaal Þ Ò
(meetkundige rij met reden Þ en amplitude ); het uitgangssignaal is dan gelijk aan Þ Ò ½
Þ ½ Þ Ò (meetkundige rij met reden Þ en amplitude Þ ½ ). De vertrager vermenigvuldigt een ingangssignaal
dat evenredig met een meetkundige rij Þ Ò verloopt dus met de factor Þ ½ . Het is daarom
gebruikelijk om de vertrager aan te duiden met het symbool Þ ½ , zoals dit ook in de figuur is gebeurd.

1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 7
We testen nu of de meetkundige rij ook een eigenfunctie is van het algemene tijddiscrete systeem
door na te gaan of, wanneer het ingangssignaal volgens ÜÒ℄ Þ Ò verloopt, de vergelijkingen
oplosbaar zijn indien we ervan uit gaan dat alle signalen in het systeem evenredig met Þ Ò verlopen.
We substitueren daartoe de signaalverlopen
ÜÒ℄ Þ Ò × ½ Ò℄Ë ½ Þ Ò × ¾ Ò℄Ë ¾ Þ Ò ¡¡¡ × Ä Ò℄Ë Ä Þ Ò en ÝÒ℄ Þ Ò
in de toestandsvergelijkingen; dit leidt tot
Ë ½ Þ Ò·½ ½½ Ë ½ Þ Ò · ½¾ Ë ¾ Þ Ò · ¡¡¡· ½Ä Ë Ä Þ Ò· ½ Þ Ò
Ë ¾ Þ Ò·½ ¾½ Ë ½ Þ Ò · ¾¾ Ë ¾ Þ Ò · ¡¡¡· ¾Ä Ë Ä Þ Ò· ¾ Þ Ò
.
.
.
Ë Ä Þ Ò·½ Ľ Ë ½ Þ Ò · ľ Ë ¾ Þ Ò · ¡¡¡· ÄÄ Ë Ä Þ Ò · Ä Þ Ò en
Þ Ò ½ Ë ½ Þ Ò· ¾ Ë ¾ Þ Ò·¡¡¡· Ä Ë Ä Þ Ò·Þ Ò
De tijdafhankelijkheid Þ Ò kan uit al deze vergelijkingen worden weggedeeld waarna een vergelijkingsstelsel
voor de amplitudes ( Ë ½ Ë ¾ ¡¡¡Ë Ä ) resulteert:
´ ½½ ÞµË ½ · ½¾ Ë ¾ · ¡¡¡· ½Ä Ë Ä ½
¾½ Ë ½ ·´ ¾¾ ÞµË ¾ · ¡¡¡· ¾Ä Ë Ä ¾
.
. .
Ľ Ë ½ · ľ Ë ¾ · ¡¡¡·´ ÄÄ ÞµË Ä Ä en
½ Ë ½ · ¾ Ë ¾ · ¡¡¡· Ä Ë Ä·
Bij een gegeven amplitude van het ingangssignaal kunnen uit de eerste Ä vergelijkingen van (1.3)
de Ä amplitudes Ë ½ Ë ¾ ¡¡¡Ë Ä van de toestandsvariabelen worden opgelost (eventueel met uitzondering
van een eindig aantal Þ-waarden). Uit de laatste vergelijking volgt dan de amplitude van het
uitgangssignaal . Het tijdverloop van alle signalen is daarmee bekend en gelijk aan (amplitude)¢Þ Ò .
We concluderen hieruit dat Þ Ò inderdaad een eigenfunctie van het algemene systeem is.
Het oplossen van de Ë ’s en leidt tot uitdrukkingen volgens Ë ´Þµ en À´Þµ. De
evenredigheidsfactoren ´Þµ en À´Þµ zijn afhankelijk van de ’s, de ’s, de ’s en van (die door
het systeem bepaald worden) en ook van de reden Þ (die uit verloop van het ingangssignaal volgt).
Indien we (zoals gebruikelijk) uitgaan van een gegeven systeem, is slechts de reden Þ een variabele;
daarom wordt slechts de Þ-afhankelijkheid expliciet in ´Þµ en À´Þµ aangeduid.
De factor À´Þµ wordt de overdrachtsfunctie van het systeem genoemd.
(1.3)
1.6 Het overdrachtssysteem ÜÒ℄
en de differentievergelijking
ÝÒ℄, de overdrachtsfunctie À ´Þµ
Indien we een systeem als overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄ beschouwen zijn we slechts geïnteresseerd
in de relatie tussen het ingangssignaal (de excitatie) ÜÒ℄ en het uitgangssignaal (de responsie)
ÝÒ℄ en niet in de inwendige signalen van het systeem (de toestandsvariabelen). In de vorige paragraaf
introduceerden we de beschrijving van het overdrachtssysteem m.b.v. zijn overdrachtsfunctie À´Þµ;
samengevat betekent dit
ÜÒ℄ Þ Ò
ÝÒ℄À´ÞµÞ Ò Þ Ò met À´Þµ
De overdrachtsfunctie À´Þµ is dus de factor waarmee het systeem de amplitude van het ingangssignaal
vermenigvuldigt. Deze factor hangt af van de structuur van het systeem, van de vermenigvuldigers
en van de reden Þ van het ingangssignaal.

8 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
Opmerking
Bij een analoog lineair en tijdonafhankelijk systeem is het signaalverloop ×Ø een eigenfunctie
van het systeem. Een ingangssignaal ܴص ×Ø veroorzaakt daarom (in de stationaire
toestand) een uitgangssignaal ݴص ×Ø en de amplitudes en hangen samen volgens
À ´×µ waarbij À ´×µ de overdrachtsfunctie van het (analoge) tijdcontinue systeem is.
We zien dus de overeenkomst tussen de verschijnselen in de continue en de discrete tijd. In de
discrete tijd wordt de rol van het exponentiële verloop ×Ø overgenomen door de meetkundige
rij Þ Ò die daarmee de tijddiscrete tegenhanger is van een exponentieel signaal. De samenhang
tussen deze twee signaalverlopen wordt duidelijker indien we bedenken dat bemonstering
van een exponentieel signaal ܴص ×Ø volgens ÜÒ℄ Ü´ÒÌ µ een meetkundige rij
ÜÒ℄ ×ÒÌ ´ ×Ì µÒ Þ Ò oplevert, met Þ ×Ì . De meetkundige rij Þ Ò zullen we daarom
ook een exponentieel signaal noemen.
We bekijken nu opnieuw het elementaire vergelijkingsstelsel (1.1) en bepalen hiervan uitgaande de
vergelijking die het verband tussen ÜÒ℄ en ÝÒ℄ beschrijft. Hiervoor moeten de interne signalen
(× Ò℄) uit het stelsel worden geëlimineerd. Dan blijkt dat het verband tussen ÜÒ℄ en ÝÒ℄ gegeven
wordt door
ÝÒ℄ ¬ ¼ ÜÒ℄·¬ ½ ÜÒ ½℄ · ¬ ¾ ÜÒ ¾℄ · ¡¡¡·¬ Ä ÜÒ Ä℄
·« ½ ÝÒ ½℄ · « ¾ ÝÒ ¾℄ · ¡¡¡·« Ä ÝÒ Ä℄
Ä
¼
¬ ÜÒ ℄·
Ä
½
« ÝÒ ℄ (1.4)
Deze vergelijking heet de differentievergelijking (de D.V.) van het systeem en is de tijddiscrete tegenhanger
van de differentiaalvergelijking van een analoog systeem.
Bewijs.
De gedetailleerde afleiding van de D.V. uit de toestandsvergelijkingen (1.1) laten we achterwege; we
geven slechts het verloop van deze afleiding aan.
Eerst herschrijven we de toestandsvergelijkingen als
×Ò℄ ×Ò ½℄ · ÜÒ ½℄ en ÝÒ℄ ×Ò℄·ÜÒ℄
Uit dit stelsel van Ä ·½ vergelijkingen willen we × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄ en × ½ Ò ½℄, × ¾ Ò
½℄ ¡¡¡× Ä Ò ½℄, d.w.z. ¾Ä variabelen elimineren; we hebben hiervoor Ä vergelijkingen te weinig.
Eenmaal ‘vertragen’ van het stelsel levert de Ä ·½nieuwe vergelijkingen
×Ò ½℄ ×Ò ¾℄ · ÜÒ ¾℄ en ÝÒ ½℄ ×Ò ½℄ · ÜÒ ½℄
er zijn echter ook Ä te elimineren variabelen bijgekomen (× ½ Ò ¾℄× ¾ Ò ¾℄ ¡¡¡× Ä Ò ¾℄). Ook
komen de extra variabelen ÝÒ ½℄ en ÜÒ ½℄ voor. Wanneer we doorgaan tot en met de Ä¢
vertraagde versie van het stelsel hebben we in het totaal ´Ä ·½µ ¾ vergelijkingen. In het totaal zijn er
dan ´Ä ·¾µÄvariabelen die we willen elimineren nl.
× ½ Ò℄× ½ Ò ½℄ ¡¡¡× ½ Ò ½ Ä℄
× ¾ Ò℄× ¾ Ò ½℄ ¡¡¡× ¾ Ò ½ Ä℄
.
× Ä Ò℄× Ä Ò ½℄ ¡¡¡× Ò ½ Ä℄
.

1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 9
Wat betreft Ü en Ý komen de variabelen
ÜÒ℄ÜÒ ½℄ ¡¡¡ÜÒ Ä℄en ÝÒ℄ÝÒ ½℄ ¡¡¡ÝÒ Ä℄
voor.
Het elimineren van de Ä ¾ ·¾Ä ×-variabelen uit de Ä ¾ ·¾Ä·½ vergelijkingen leidt dan tot één
vergelijking tussen de Ü- enÝ-variabelen; de algemene vorm van deze vergelijking is de in (1.4)
gegeven D.V.
¾
De D.V. (1.4) kan als volgt gelezen worden:
het uitgangssignaal op een bepaald moment ÝÒ℄ is een lineaire combinatie van
– het ingangssignaal ÜÒ℄ op dat moment
– vertragingen van het ingangssignaal ÜÒ℄ (waarden ÜÒ ℄ uit het verleden)
– vertragingen van het uitgangssignaal ÝÒ℄ (waarden ÝÒ ℄ uit het verleden).
Deze uitspraak weerspiegelt de causaliteit van het systeem.
Omdat we weten dat Þ Ò een eigenfunctie van het systeem is en dus
ÜÒ℄ Þ Ò
ÝÒ℄À´ÞµÞ Ò Þ Ò met À´Þµ
bepalen we opnieuw het verband tussen de amplitudes en , maar nu uitgaande van de D.V. (1.4).
Daartoe substitueren we ÜÒ℄ Þ Ò en ÝÒ℄ Þ Ò in de D.V.; dit leidt tot
ofwel
Þ Ò ¬ ¼ Þ Ò ·¬ ½ Þ Ò ½ · ¬ ¾ Þ Ò ¾ ·¡¡¡¬ Ä Þ Ò Ä
·« ½ Þ Ò ½·« ¾ Þ Ò ¾·¡¡¡·« Ä Þ Ò Ä
½ « ½ Þ ½ « ¾ Þ ¾ ¡¡¡ « Ä Þ Ä Þ Ò ¬ ¼·¬ ½ Þ ½·¬ ¾ Þ ¾·¡¡¡·¬ Ä Þ Ä Þ Ò
Voor de overdrachtsfunctie H(z) volgt hieruit
À´Þµ ¬ ¼·¬ ½ Þ ½·¬ ¾ Þ ¾·¡¡¡·¬ È
Ä Þ Ä Ä¼
½ « ½ Þ ½ « ¾ Þ ¾ ¡¡¡ « Ä Þ Ä ¬ Þ
È
½ Ľ
« Þ (1.5)
We hebben nu dus twee beschrijvingen van het digitale overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄;één m.b.v.
de overdrachtsfunctie (1.5) en één m.b.v. de differentievergelijking (1.4). Merk op dat de coëfficiënten
die in deze beschrijvingen voorkomen dezelfde zijn. Dit wil zeggen dat uit een gegeven D.V. direct
de overdrachtsfunctie volgt en omgekeerd. Aangezien het in de praktijk eenvoudig is om de overdrachtsfunctie
van een systeem te bepalen, zal het bepalen van de D.V. steeds gebeuren door eerst de
overdrachtsfunctie À´Þµ te bepalen en, daarvan uitgaand, de D.V. op te schrijven.
Wat betreft de coëfficiënten van de D.V. en van À´Þµ (« ’s en ¬ ’s), constateren we dat deze reëel en
constant zijn. Dit komt omdat de in het systeem voorkomende vermenigvuldigers reële constanten
zijn.
Verder merken we op dat de indexering in (1.4) en (1.5) van 0 tot Ä loopt. Hierbij is Ä gelijk aan
het aantal vertragers dat in het systeem voorkomt.
Het is echter mogelijk dat één of meerdere van de coëfficiënten (« ’s en ¬ ’s) gelijk aan nul zijn. We
willen ons niet beperken tot het geval dat ¬ ¼ ongelijk aan nul is, maar er expliciet rekening mee houden
dat de ¬-coëfficiënten kunnen ‘beginnen’ met een index  ( ¼) ofwel¬ ¼ ¬ ½ ¡¡¡ ¬  ½ ¼
en ¬ Â ¼.
Ook brengen we in de notatie expliciet tot uiting dat de « ’s gelijk aan nul kunnen zijn voor Å
(met Å Ä)ende¬ ’s gelijk aan nul kunnen zijn voor Æ(met Æ Ä).

10 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
De bovengrens van de indexering kan dus verschillend zijn voor de « ’s en voor de ¬ ’s; de bovengrens
(Æ resp. Å) is echter maximaal gelijk aan het aantal vertragers (Ä) dat in het systeem voorkomt.
Dit leidt dan tot de volgende notatie voor de D.V. en de overdrachtsfunctie À´Þµ:
Æ
Å
È ÆÂ
¬ Þ
ÝÒ℄ ¬ ÜÒ ℄· « ÝÒ ℄ en À´Þµ È
½ Ž
« Þ (1.6)
Â
½
Het is ook mogelijk om À´Þµ zodanig op te schrijven dat er slechts polynomen met positieve machten
van Þ in teller en noemer voorkomen; enkele equivalente schrijfwijzen zijn dan
À´Þµ Þ Å Æ
Þ Å Æ
È ÆÂ
¬ Þ
È Æ
Ž
« Þ Å ÞÅ Æ
Þ Å
È Æ Â
¼
Þ Å
È Æ Â
¼
Þ Å
¬ Â·Þ Æ Â
È Å ½
¼
« Å Þ
¬ Æ Þ
È
Ž
« Þ (1.7)
Å
Ontbinden van het teller- en noemerpolynoom in factoren leidt tot de schrijfwijze
À´Þµ ¬ Â Þ Å Æ É Æ Â
½ ´Þ Þ µ
É Å½´Þ Ô µ (1.8)
In de laatste uitdrukking zijn Þ ’s de Æ Â nulpunten en de Ô ’s de Å polen van de overdrachtsfunctie
À´Þµ, die niet in Þ ¼liggen.
In de oorsprong (Þ ¼) kan zich een enkelvoudig nulpunt (als Å Æ ½), een meervoudig nulpunt
(als Šƽ), een enkelvoudige pool (als Å Æ ½) of een meervoudige pool (als Å Æ
½) bevinden.
In verg. (1.8) zien we verder dat het gedrag van À´Þµ voor Þ ½gelijk is aan ¬ Â Þ Â . Omdat
 ¼, betekent dit dat À´Þµ voor Þ ½een eindige waarde ¬ ¼ heeft (voor  ¼)ofdatÀ´Þµ
gelijk aan ¼ wordt (voor ¼). Anders gezegd: de graad van de teller van À´Þµ (als polynoom in Þ)
is nooit groter dan die van de noemer.
Onder de orde van een systeem verstaan we de waarde van Æ of Å naargelang welke van de twee
waarden de grootste is: orde ÑÜ´ÅƵ. Aangezien beide waarden maximaal gelijk zijn aan
het aantal aanwezige vertragers (Ä) is de orde dus maximaal gelijk aan dat aantal vertragers. In de
praktijk zal de orde echter altijd gelijk zijn aan het aantal vertragers d.w.z. Ä ÑÜ´ÅƵ. Inde
praktijk is dus òf Å òf Æ (of beiden) gelijk aan Ä.
Voorbeeld 1.6.1 In het overdrachtssysteem Ü Ý van Fig. 1.8 zijn het ingangssignaal (), het uitgangssignaal
( ) en twee interne signalen (Î en Ï ) aangeduid met hun amplitudes. Bij het rekenen
aan deze schakeling gaan we er eerst van uit dat alle signalen verlopen volgens (amplitude)¢Þ Ò en
berekenen de amplitude en de overdrachtsfunctie À´Þµ.
Uit ÞÏ Î · ½ Ï volgt Ï
Î
Þ ½
.
Met ÞÎ · ¾ Ï · ¾Î
Þ ½
volgt Þ¾ ½ Þ ¾
Þ ½
Î ofwel Î Þ ½
Þ ¾ ½ Þ ¾
.
½
Dan is Ï
Þ ¾ ½ Þ ¾
.
Het uitgangssignaal is dan gelijk aan
½ Î · ¾ Ï ½Þ ½ ½ · ¾
Þ ¾ ½ Þ ¾
en de overdrachtsfunctie is
À´Þµ ½Þ ½ ½· ¾
Þ ¾ ½ Þ ¾
À´Þµ
½Þ ½·´ ¾ ½ ½ µÞ ¾
½ ½ Þ ½ ¾ Þ ¾

1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 11
¹
½
¹
· ÞÎ ¹ Î
Þ ½ ¹ ÞÏ · ¹
Þ
½
½
Ï ¹
¾
¹
·
¾
Figuur 1.8: Voorbeeld.
Wanneer we nu de gelijkheid
Ó
Ó
Ò½ ½ Þ ½ ¾ Þ ¾
Ò ½ Þ ½ ·´ ¾ ½ ½ µÞ ¾
beschouwen, en ons realiseren dat de ‘operatie’ Þ ½ (populair gezegd) overeenkomt met eenmaal
vertragen, Þ ¾ met twee maal vertragen etc., herkennen we direct de differentievergelijking
ÝÒ℄ ½ ÝÒ ½℄ ¾ ÝÒ ¾℄ ½ ÜÒ ½℄·´ ¾ ½ ½ µÜÒ ¾℄
We beëindigen deze paragraaf met het noemen van vier fundamentele eigenschappen van het
beschouwde overdrachtssysteem en wel het reëel zijn, het causaal zijn, het tijdinvariant zijn en het
lineair zijn van de signaaloverdracht ÜÒ℄ ÝÒ℄. Deze eigenschappen volgen direct uit het feit dat
het systeem beschreven wordt met een D.V. volgens (1.4) waarbij de coëfficiënten (« ’s en ¬ ’s) reëel
en constant zijn.
Het systeem is reëel, dit betekent: indien het ingangssignaal ÜÒ℄ reëel is, dan is ook het uitgangssignaal
ÝÒ℄ reëel.
Het systeem is causaal, dit betekent: indien twee ingangssignalen Ü ½ Ò℄ en Ü ¾ Ò℄ gelijk aan elkaar
zijn tot een bepaald moment Ò ¼ (Ü ½ Ò℄ Ü ¾ Ò℄voor ÒÒ ¼ ), zijn ook de bijbehorende responsies
gelijk aan elkaar tot het moment Ò ¼ (Ý ½ Ò℄ Ý ¾ Ò℄voor ÒÒ ¼ ). Deze eigenschap volgt
uit de D.V. (1.4) omdat een uitgangssignaal op een zeker moment niet bepaald wordt door de
toekomst van in- of uitgangssignaal maar slechts door het verleden. Het systeem bevat immers
slechts vertragers, geen ‘versnellers’.
Het systeem is tijdinvariant (tijdonafhankelijk), dit betekent: als ÜÒ℄ ÝÒ℄ dan geldt ÜÒ
Ò ¼ ℄ ÝÒ Ò ¼ ℄. Een tijdverschuiving van het ingangssignaal resulteert dus in eenzelfde
tijdverschuiving van het uitgangssignaal. Deze eigenschap volgt uit het feit dat de coëfficiënten
van de D.V. constant zijn.
Het systeem is lineair, dit betekent: als Ü ½ Ò℄ Ý ½ Ò℄ en Ü ¾ Ò℄ Ý ¾ Ò℄ dan ­ ½ Ü ½ Ò℄ ·
­ ¾ Ü ¾ Ò℄ ­ ½ Ý ½ Ò℄·­ ¾ Ý ¾ Ò℄. Een lineaire combinatie van ingangssignalen resulteert dus
in dezelfde lineaire combinatie van de respectieve uitgangssignalen. Verifieer zelf de juistheid
van deze uitspraak door de signaalparen in de D.V. in te vullen.

12 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
We merken nog op dat deze eigenschap ook inhoudt dat een excitatie ÜÒ℄ ¼een responsie
ÝÒ℄ ¼veroorzaakt (­ ½ ­ ¾ ¼); het systeem is dus ‘bronloos’ (bevat geen interne excitaties).
Omdat een systeem, dat aan de D.V. (1.4) voldoet, causaal en bronloos is geldt nog: indien
ÜÒ℄ ¼voor ÒÒ ¼ is ÝÒ℄ ¼voor ÒÒ ¼ (ga dit na). Er is dus geen uitgangssignaal
voordat het ingangssignaal ‘begint’.
1.7 De complexe rekenwijze voor sinusoïdale signalen
In de praktijk bestaan er slechts reële signalen. Veelal is het echter handig om met complexe signalen
te rekenen.
Indien we een reëel lineair systeem beschouwen met twee reële excitaties Ü ½ Ò℄ en Ü ¾ Ò℄ zijn de
bijbehorende responsies Ý ½ Ò℄ en Ý ¾ Ò℄ reëel, omdat het systeem reëel is. We kunnen echter ook (in
gedachten) een complex ingangssignaal ÜÒ℄ beschouwen met ÜÒ℄ Ü ½ Ò℄·Ü ¾ Ò℄; vanwege de
lineariteit zal dan de (complexe) responsie gelijk zijn aan ÝÒ℄ Ý ½ Ò℄·Ý ¾ Ò℄. De deelresponsies
Ý ½ Ò℄ en Ý ¾ Ò℄ zijn hierbij reëel. We vinden derhalve de volgende eigenschap voor een reëel lineair
systeem:
als ÜÒ℄ ÝÒ℄ dan geldt Ê ÜÒ℄ Ê ÝÒ℄ en ÁÑ ÜÒ℄ ÁÑ ÝÒ℄
Deze eigenschap vormt het uitgangspunt voor de complexe rekenwijze. In het hierna volgende werken
we meestal met complexe signalen.
Beschouw nu een reëel tijddiscreet sinusoïdaal ingangssignaal Ü Ö Ò℄ Ü Ñ Ó×´Ò · Ü µ. Om het
rekenen gemakkelijker te maken, gebruiken we de complexe rekenwijze:
Ü Ö Ò℄ Ê ÜÒ℄ met ÜÒ℄ Ò en Ü Ñ Ü
Het signaal ÜÒ℄ is de complexe uitbreiding van de reële sinusoïde Ü Ö Ò℄. We zien dat ÜÒ℄ een
meetkundige rij is met reden ; ÜÒ℄ verloopt dus zoals de signalen die we eerder beschouwden:
ÜÒ℄ Þ Ò met Þ
De hoek wordt de frequentie van het signaal genoemd en de factor de complexe amplitude van
het signaal. Uit deze complexe amplitude volgt de amplitude Ü Ñ van de sinusoïde met Ü Ñ en
de nulfase Ü van de sinusoïde met Ü Ö℄.
Omdat we weten dat de responsie op het signaal ÜÒ℄ Þ Ò gelijk is aan ÝÒ℄ Þ Ò À´ÞµÞ Ò
weten we ook dat de responsie op het (complexe) signaal ÜÒ℄ Ò gelijk is aan ÝÒ℄ Ò
À´ µ Ò ; we hebben slechts Þ door vervangen. Uit de complexe responsie ÝÒ℄ volgt daarna
de reële responsie Ý Ö Ò℄, volgens Ý Ö Ò℄ Ê ÝÒ℄. De complexe rekenwijze komt dus op het
volgende neer:
¯ ga van het reële ingangssignaal Ü Ö Ò℄ over op het complexe signaal ÜÒ℄ met
Ü Ö Ò℄ Ü Ñ Ó×´Ò · Ü µ Ê Ò Ê ÜÒ℄ met Ü Ñ Ü
¯ bepaal, m.b.v. de overdrachtsfunctie À´Þµ, het complexe uitgangssignaal ÝÒ℄
ÜÒ℄ Ò ÝÒ℄ Ò met À´ µ

1.7. De complexe rekenwijze voor sinusoïdale signalen 13
¯ en bepaal het reële uitgangssignaal Ý Ö Ò℄
Ý Ö Ò℄ Ê ÝÒ℄ Ê Ò
De reële responsie op uitgangssignaal is daarmee gelijk aan
Ý Ö Ò℄ À´ µÜ Ñ Ó×´Ò · Ü · ÖÀ℄µ
Ý Ñ Ó×´Ò · Ý µ met Ý Ñ À´ µÜ Ñ en Ý Ü · ÖÀ´ µ℄
De functie À´ µ heet de frequentieresponsie van het systeem.
De amplitudefactor À´ µ is de (frequentieafhankelijke) factor waarmee het systeem de amplitude
van het ingangssignaal vermenigvuldigt.
De faseverschuiving (of fasedraaiing) ÖÀ´ µ℄ geeft aan met welke (frequentieafhankelijke) hoek
het systeem de fase van het ingangssignaal vermeerdert.
N.B.
De frequentieresponsie À´ µ is een periodieke functie van met een periode ¾. Eenvermeerdering
van met een (geheel) aantal malen ¾ verandert de waarde van immers niet.
Het is daarom gebruikelijk om het verloop van À´ µ, À´ µ en ÖÀ´ µ℄ slechts in één
periode, met lengte ¾, te beschouwen; voor deze periode wordt meestal het gebied van ¼
tot ¾of van tot ·genomen.
Opmerking
De complexe rekenwijze voor sinusoïdale signalen in tijddiscrete systemen is analoog aan
die bij de tijdcontinue systemen. Wel zien we dat de rol van × uit het tijdcontinue
overgenomen wordt door Þ . De rol die de imaginaire as (× ) inhet×-vlak heeft,
wordt in het tijddiscrete dus door de eenheidscirkel (Þ )inhetÞ-vlak overgenomen.
Voorbeeld 1.7.1 Beschouw een willekeurig tweede orde digitaal filter; dit heeft de overdrachtsfunctie
À´Þµ ¼Þ ¾· ½ Þ· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ· ¾
en de frequentieresponsie
À´ µ ¼ ¾ · ½ · ¾
¼ ¾ · ½ · ¾
Om de responsie op de sinusoïde Ü Ö Ò℄ Ü Ñ Ó×´Ò · Ü µ te bepalen moeten we À´ µ en
ÖÀ´ µ℄ berekenen. Daarvoor herschrijven we À´ µ als
dan volgt
À´ µ ¼Ó×´¾µ·×Ò´¾µ · ½ Ó×´µ·×Ò´µ · ¾
¼ Ó×´¾µ·×Ò´¾µ · ½ Ó×´µ·×Ò´µ · ¾
×
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¾· ¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ ¾
en
À´ µ
Ö À´ µ
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¾· ¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ ¾
¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ
atan
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾
´· voor ¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¼µ
´· voor ¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¼µ
¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ
atan
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾

14 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
De uitdrukking voor À´ µ kan vereenvoudigd worden door gebruik te maken van goniometrische
relaties. Deze vereenvoudiging kan ook worden bereikt met een rekenmethode die we in de volgende
paragraaf zullen behandelen.
Indien we slechts geïnteresseerd zijn in de frequentieresponsie voor enkele speciale waarden van en
niet in de complete frequentieafhankelijkheid, kunnen we deze gegeven waarden van natuurlijk ook
rechtstreeks in À substitueren.
Wanneer we bijv. slechts het gedrag voor ¾ willen bepalen substitueren we Þ ¾ direct
in À´Þµ:
Dan is
en
À´ ¾ µÀ´µ
À
×
¾ ¼ ¾ · ¾ ½
¾ ¼ ¾ · ¾ ½
½
ÖÀ℄ atan
¾ ¼
¼· ½ · ¾
¼ · ½ · ¾
´
½
atan
¾ ¼
· voor ¾ ¼ ¼
· voor ¾ ¼ ¼
Een zeer gemakkelijk te berekenen waarde van À is de waarde voor ¼ofwel Þ ½; À´½µ
À´ ¼ µ beschrijft de overdracht voor een constant ingangssignaal (een ‘gelijkspanning’).
1.8 De frequentieresponsie À ´ µ
Voor de overdrachtsfunctie À´Þµ geldt de belangrijke spiegeleigenschap:
À´Þ £ µÀ £´Þµ (1.9)
Voor de frequentieresponsie À´ µ volgt hieruit
À´ µÀ £´ µ en dus (1.10)
À´ µ À´ µ en ÖÀ´ µ℄ ÖÀ´ µ℄
De amplitudefactor À is dus een even functie van en de faseverschuiving ÖÀ℄ is een oneven
functie van .
Bewijs.
De overdrachtsfunctie À´Þµ is het quotiënt van twee polynomen in Þ met reële coëfficiënten; zie
verg. (1.7). Wanneer we nu Þ door Þ £ vervangen, zal een term Þ in teller of noemer van À´Þµ
vervangen worden door ´Þ £ µ . Omdat de coëfficiënt reëel is geldt: ´Þ £ µ ´ Þ µ £ . Een
vervanging van iedere term van de teller en de noemer door zijn complex toegevoegde, leidt tot de
complex toegevoegde van het totale quotiënt en dus tot À´Þ £ µÀ £´Þµ.
Voor Þ geldt Þ £ ´ µ £ ; dit resulteert in À´ µÀ £´ µ.
¾
De frequentieresponsie À´ µ is een periodieke functie van met een periode ¾. Verder vertoont de
responsie de hierboven genoemde spiegelsymmetrie. Bij het tekenen van frequentiekarakteristieken
kunnen we dus volstaan met het weergeven van À´ µ en ÖÀ´ µ℄ in het interval ¼tot

1.8. De frequentieresponsie À´ µ 15
. Uit het even zijn van À´ µ en het oneven zijn van ÖÀ´ µ℄ volgt immers het verloop
van deze functies voor tot ¼.
Beschouw nu de functie ´Þµ À´ÞµÀ´Þ ½ µ; voor Þ geldt
´ µÀ´ µÀ´ µÀ´ µÀ £´ µÀ´ µ ¾
De rationale functie ´Þµ À´ÞµÀ´Þ ½ µis een ‘nette’ rationale functie van Þ die op de eenheidscirkel
gelijk is aan À´ µ ¾ en heet daarom een analytische voortzetting van À´ µ ¾ .
In de vorige paragraaf hebben we in een voorbeeld het het (frequentieafhankelijke) verloop van
de amplitudefactor À´ µ berekend. Deze berekening gaat echter eenvoudiger indien we eerst
´Þµ berekenen en daarna met de substitutie Þ , het kwadraat À´ µ ¾ van de amplitudefactor
bepalen. We lichten dit toe aan de hand van een voorbeeld.
Voorbeeld 1.8.1 We beschouwen dus opnieuw de algemene tweede-orde overdrachtsfunctie
dan is
À´Þµ ¼Þ ¾· ½ Þ· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ· ¾
´Þµ À´ÞµÀ´Þ ½ µ ¼Þ ¾· ½ Þ· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ· ¾
¡ ¼Þ ¾· ½ Þ ½· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ ½· ¾
¾ ¼·¾ ½·¾ ¾·´ ¼ ½· ½ ¾ µ´Þ · Þ ½ µ· ¼ ¾´Þ ¾·Þ ¾ µ
¾ ¼·¾ ½·¾ ¾·´ ¼ ½· ½ ¾ µ´Þ · Þ ½ µ· ¼ ¾´Þ ¾·Þ ¾ µ
Nu bepalen we ´ µ en bedenken daarbij dat · ¾ Ó×´µ en ¾ · ¾ ¾ Ó×´¾µ:
À´ µ ¾ ´ µ
¾ ¼·¾ ½·¾ ¾·¾´ ¼ ½· ½ ¾ µ Ó×´µ·¾ ¼ ¾ Ó×´µ
¾ ¼ · ¾ ½ · ¾ ¾ ·¾´ ¼ ½· ½ ¾ µ Ó×´µ·¾ ¼ ¾ Ó×´µ
We zien dat in deze berekening geen goniometrische manipulaties nodig zijn.
1.8.1 De grafische constructie van À en ÖÀ ℄ m.b.v. het pool-nulpunt-diagram
In verg. (1.8) hebben we gezien dat de algemene overdrachtsfunctie geschreven kan worden als
À´Þµ ¬ Â Þ Å Æ É Æ Â
½ ´Þ Þ µ
É Å½´Þ Ô µ
hierin zijn de Þ ’s de nulpunten en de Ô ’s de polen van À´Þµ. Wanneer we m.b.v. deze uitdrukking
de amplitudefactor À´ µ bepalen, volgt
À´ µ ¬ Â
É Æ Â
½
Þ
É Å½
Ô
De factor Þ in de teller is in het complexe Þ-vlak de afstand tussen het punt (gelegen op
de eenheidscirkel) en het nulpunt Þ . Deze afstand hangt af van de frequentie ; hoe deze afstand als
functie van varieert is grafisch uit een pool-nulpunt-diagram af te leiden. Hetzelfde geldt voor de
factor Ô in de noemer, die de afstand van het punt tot de pool Ô voorstelt. Een en ander is
in Fig. 1.9 toegelicht; ga na hoe de afstanden variëren indien het interval van 0 tot doorloopt.

16 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
¾
Ê
Þ
Þ Æ
Ö
Ô ¢
Ê
½ © ¼
Þ
Figuur 1.9: Bepaling van de amplitudefactor uit het pool-nulpunt-diagram.
Æ
¢
¢
Æ
¢
¢
Æ
Å
½
À´ µ
¼ ¾
¹
Figuur 1.10: Voorbeeld van een pool-nulpunt-diagram en het bijbhorende amplitude-verloop.
Uit een pool-nulpunt-diagram kan dus À´ µ eenvoudig (op de schaalfactor ¬ na) worden geconstrueerd;
deze constructie kan ook in gedachten worden uitgevoerd en geeft dan een snel globaal
inzicht in het verloop van À´ µ.
In Fig. 1.10 is een voorbeeld van een pool-nulpunt-diagram met het bijbehorende verloop van
À´ µ getekend.
We maken nog enkele (voor de hand liggende) opmerkingen over het verloop van À:
– Polen dicht bij de eenheidscirkel trekken À omhoog.
– Nulpunten dicht bij de eenheidscirkel trekken À omlaag.
– Nulpunten op de eenheidscirkel leiden tot À ¼.
- Nulpunten of polen in Þ ¼hebben geen invloed op À.
Ook ÖÀ´ µ℄ is m.b.v. een pool-nulpunt-diagram te construeren. Deze constructie volgt uit
Æ Â
ÖÀ´ µ℄ Ö¬  ℄·´Å Ƶ·
½
Ö´ Þ µ
Å
½
Ö´ Ô µ
Het beschouwen van de hoeken van de vectoren die met de polen en de nulpunten verbindt, geeft
dus ook inzicht in het verloop van ÖÀ℄.
Opmerking
De polen en nulpunten van een overdrachtsfunctie vertonen een spiegelsymmetrie; ze treden
in toegevoegd complexe paren op (zoals in Fig. 1.10). Dat dit zo is, volgt direct uit de

1.9. De realisering van een overdrachtssysteem 17
spiegeleigenschap (1.9). Voor een nulpunt Þ geldt immers À´Þ µ¼; uit (1.9) volgt dan
À´Þ £ µ¼£ ¼d.w.z. dat Þ £ ook een nulpunt is. Dat een pool Ô een paar vormt met een pool
Ô £ volgt op analoge wijze.
1.8.2 De bemonstering van een analoog sinusoïdaal signaal; het verband tussen en
We gaan nu in op de betekenis van de frequentie van een tijddiscrete sinusoïde Ó×´Òµ. De hoek
is niet meer en niet minder dan de toename van het argument van de sinusoïde wanneer we Ò met
één vermeerderen. Bij een kleine waarde van ( ¼) zal de toename van het argument ‘per stap’
klein zijn en de sinusoïde zal ‘langzaam’ variëren; een vergroting van zal een ‘snellere’ variatie
veroorzaken.
De variabele Ò is een variabele die slechts de nummering van de signaalwaarden aangeeft; deze nummering
hoeft niet met een tijdvariabele samen te hangen. Wanneer Ò echter wel met de tijd samenhangt
omdat het digitale signaal voortkomt uit de bemonstering van een analoog tijdsignaal, krijgt de
frequentie een meer fysische betekenis. Op deze betekenis gaan we nu in door de bemonstering van
een tijdcontinu sinusoïdaal signaal ´Øµ te beschouwen:
´Øµ Ñ Ó×´Ø · µ Ñ Ó×´¾Ø · µ
Bemonstering van dit signaal met een bemonsteringsinterval Ì ,debemonsteringsfrequentie is dan
× ½Ì (Hertz), levert het digitale signaal
Ò℄ ´ÒÌ µ Ñ Ó×´ÒÌ · µ Ñ Ó×´Ò · µ met Ì ¾
×
× ¾
Er bestaat dus een lineair verband tussen en enerzijds en anderzijds. Een bepaalde waarde
van de hoek komt nu overeen met een bepaalde frequentie of (in Hertz) en de hoek heeft de
betekenis van een genormeerde frequentie.
Het interval ¼tot komt overeen met ¼tot Ì ofwel ¼tot × ¾.
1.9 De realisering van een overdrachtssysteem
We hebben ons tot nu toe bezig gehouden met de analyse van een overdrachtssysteem dat opgebouwd
is uit optellers, tijdvertragers en vermenigvuldigers. Het bleek dat we zo’n overdrachtssysteem konden
beschrijven met een differentievergelijking of met een overdrachtsfunctie.
Bij de realisering of synthese van een systeem is het de bedoeling om m.b.v. de bekende elementen
een systeem op te bouwen dat een gegeven D.V. of overdrachtsfunctie heeft. We willen dus een
gegeven D.V. ofwel À´Þµ realiseren met
Æ
Å
È Æ¼
Þ
ÝÒ℄ ÜÒ ℄ · ÝÒ ℄ ofwel À´Þµ È
½ Ž
Þ
¼
½
Dit zijn de vergelijkingen (1.6) na vervanging van de «’s door ’s en de ¬’s door ’s. De ’s en ’s
zijn hierbij willekeurige gegeven constanten.
In Fig. 1.11 is een voor de hand liggende realisering gegeven (verifieer deze zelf). Deze realisering
bevat Å · Æ vertragers.
Twee realiseringen met het minimum aantal vertragers Ä met Ä ÑÜ´ÅƵ, zijn in Fig. 1.12
gegeven; deze realiseringen staan bekend onder de namen ‘directe vorm I’ en ‘directe vorm II’. Ga
zelf na dat deze filters de gewenste D.V. en À´Þµ hebben.

18 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
ÜÒ℄ ¹
Þ ½ ¹ Þ ½ ¹ ¡¡¡ ¹ Þ
½
«
Å
¼ ½ ¾ Æ
¨ÝÒ℄
· ¹
©
Å ¾ ½
Þ ½
¡¡¡
Þ ½
Þ ½
Figuur 1.11: Realisering van een gegeven overdrachtsfunctie.
Opmerking
In de drie gegeven realiseringen kunnen één of meerdere ’s en/of ’s gelijk aan nul zijn. In de
laatste twee realiseringen (Fig. 1.12) zullen voor Å Æ Äin ieder geval de coëfficiënten
Å ·½ , Å ·¾ ¡¡¡ Ä gelijk aan nul zijn. Voor Æ Å Ä zijn in ieder geval Æ ·½ ,
Æ ·¾ ¡¡¡ Ä gelijk aan nul.
De gegeven schakelingen kunnen op drie manieren gezien worden:
– als een realisering van een algemene D.V. of À´Þµ,
– als een vervangingsschema van een willekeurig digitaal filter met Ä vertragers of
– als een rekenschema dat aangeeft hoe een computer (in ‘hardware’ of ‘software’) kan worden geprogrammeerd
om de gewenste D.V. of À´Þµ te realiseren.
We beschrijven nu een ‘software’ programma dat uitgaat van het rekenschema volgens het bovenste
schema in Fig. 1.12. In dit programma worden de rollen van de Ä vertragers overgenomen door Ä
geheugenplaatsen × ½ , × ¾ ¡¡¡× Ä . We gaan uit van de toestand op een ‘tijdstip’ Ò ¼ en gaan na wat de
computer moet doen tussen de tijdstippen Ò ¼ en Ò ¼ ·½. Op het tijdstip Ò ¼ bevatten de geheugenplaatsen
de waarden × ½ Ò ¼ ℄, × ¾ Ò ¼ ℄ ¡¡¡× Ä Ò ¼ ℄ en heeft het ingangssignaal de waarde ÜÒ ¼ ℄. Het
computerprogramma moet nu de volgende bewerkingen uitvoeren:
stap 1. de waarde van het uitgangssignaal ÝÒ ¼ ℄ bepalen met
ÝÒ ¼ ℄× ½ Ò ¼ ℄· ¼ ÜÒ ¼ ℄;
stap 2. de nieuwe inhoud van de geheugenplaats × ½ bepalen met
× ½ Ò ¼ ·½℄× ¾ Ò ¼ ℄· ½ ÜÒ ¼ ℄· ½ ÝÒ ¼ ℄;
stap 3. de nieuwe inhoud van de geheugenplaats × ¾ bepalen met
× ¾ Ò ¼ ·½℄× ¿ Ò ¼ ℄· ¾ ÜÒ ¼ ℄· ¾ ÝÒ ¼ ℄;
.
stap L+1. de nieuwe inhoud van de geheugenplaats × Ä bepalen met
× Ä Ò ¼ ·½℄ Ä ÜÒ ¼ ℄· Ä ÝÒ ¼ ℄.
Wanneer dit alles gebeurd is, staat het systeem klaar om op het tijdstip Ò ¼ ·½ de nieuwe waarde
ÜÒ ¼ ·½℄van het ingangssignaal te ontvangen; de geschetste cyclus kan dan weer van voor af aan
worden doorlopen.

1.10. De impulsresponsie, de convolutiesom en de stabiliteit 19
ÜÒ℄
Ä
¡¡¡
½
¼
· ¹ Þ
½ ¹ ·
¹ Þ
½ ¹
¹
Þ ½ ¹
· ¹ Þ
½ ¹
¡¡¡
×
Ä Ò℄ × Ä ½ Ò℄ × ¾ Ò℄ × ½ Ò℄
ÝÒ℄
· ¹
Ä
¡¡¡
½
ÜÒ℄
¹
¯
Æ
¼ ½ ¾
· ¹ Þ
½
¹ Þ
½
¹ ¡¡¡
¹ Þ
½
Ä
¬
­
ÝÒ℄
· ¹
¾
Ä
½
¯
Æ
·
¬
­
Figuur 1.12: Twee realiseringen met een minimum aantal vertragers.
We kunnen het voorgaande bijv. in de programmeertaal ‘Pascal’ implementeren.
We slaan dan de waarden van de coëfficiënten ( ½¾¡¡¡Ä)en ( ¼½¡¡¡Ä)opintwee
arrays ‘’ en‘’ gedeclareerd met
var : array½Ä℄ of real; var : array¼Ä℄ of real;
De geheugeninhouden × ( ½¾¡¡¡Ä) worden opgeslagen in een array ‘×’ gedeclareerd met
var ×: array½Ä℄ of real;
Het hierboven beschreven programmadeel komt er dan als volgt uit te zien:
procedure Filter;
begin
end;
haal het ingangssignaal binnen en ken dit toe aan de variabele Ü
Ý ×½℄ · ¼℄ £ Ü ;
het uitgangssignaal Ý kan nu naar buiten worden doorgegeven
for ½ to Ä ½ do
×℄ ×·½℄·℄£Ü·℄£Ý;
×Ä℄Ä℄£Ü·Ä℄£Ý;
De procedure ‘Filter’ wordt dan, gesynchroniseerd door een klok, steeds opnieuw aangeroepen.

20 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
1.10 De impulsresponsie Ò℄, de convolutiesom en de stabiliteit van een
overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄
Tot nu toe zijn we twee manieren tegengekomen waarmee we een overdrachtssysteem volledig kunnen
beschrijven, de differentievergelijking en de overdrachtsfunctie. We voegen hier nu de beschrijvingswijze
m.b.v. de impulsresponsie Ò℄ aan toe en zullen zien dat de responsie ÝÒ℄ op een
willekeurig signaal ÜÒ℄ gelijk is aan de convolutiesom
ÝÒ℄ Ò℄£ÜÒ℄
De eenheidsimpuls is gedefinieerd als (zie par. 1.1) ÆÒ℄ ½voor Ò ¼en ÆÒ℄ ¼voor Ò ¼en
bezit de belangrijke zeefeigenschap waarmee een willekeurig signaal kan worden geschreven als een
sommering van gewogen verschuivingen van deze eenheidsimpuls:
ÜÒ℄
½
½
ÆÒ ℄Ü℄
De impulsresponsie is per definitie de responsie van het systeem op de eenheidsimpuls:
ÜÒ℄ ÆÒ℄ ÝÒ℄Ò℄
De door ons beschouwde systemen zijn lineair en tijdinvariant (zie par. 1.6). Voor dit soort systeem
kan de responsie ÝÒ℄ op een willekeurige excitatie ÜÒ℄ m.b.v. de impulsresponsie, worden bepaald.
Immers
per definitie geldt ÆÒ℄ Ò℄,
uit de tijdinvariantie volgt ÆÒ ℄ Ò ℄,
uit de lineariteit volgt ÆÒ ℄Ü℄ Ò ℄Ü℄,
en eveneens
È ½
½ ÆÒ ℄Ü℄ È ½
½ Ò ℄Ü℄.
Met behulp van de zeefeigenschap van de deltafunctie volgt dat het linkerlid van de laatste uitdrukking
gelijk is aan ÜÒ℄. De responsie ÝÒ℄ op een excitatie ÜÒ℄ kan dus worden geschreven als
ÝÒ℄
½
½
Ò ℄Ü℄
Deze sommering is een zogenaamde convolutiesom en kan (na vervanging van door Ò
geschreven worden als
ÝÒ℄
½
½
℄ÜÒ ℄
) ook
In het vervolg zullen we de convolutiesom symbolisch noteren m.b.v. een £-symbool:
ÝÒ℄ Ò℄£ÜÒ℄
½
½
Ò ℄Ü℄
½
½
℄ÜÒ ℄ (1.11)
De convolutiesom is de tegenhanger van de convolutieintegraal uit het tijdcontinue en geeft aan hoe
het verleden van het ingangssignaal meeweegt bij het bepalen van het uitgangssignaal op een bepaald
moment. De impulsresponsie Ò℄ fungeert hierbij als weegfunctie. Zo zal de waarde ½℄ aangeven
hoe sterk het ingangssignaal van 176 ‘momenten’ terug, ÜÒ ½℄, meeweegt in het huidige uitgangssignaal
ÝÒ℄.

1.10. De impulsresponsie, de convolutiesom en de stabiliteit 21
De door ons beschouwde systemen zijn causaal; in par. 1.6 zagen we dat dan (vanwege ÆÒ℄ ¼voor
Ò¼) voor de impulsresponsie geldt:
Ò℄ ¼voor Ò¼
In de eerste sommering van (1.11) betekent dit dat voor de bovengrens Ò kan worden gelezen. In
de tweede sommering kan de ondergrens gelijk aan ¼worden gesteld.
Een ingangssignaal ÜÒ℄ begint ooit, bijvoorbeeld op Ò ¼. Voor de responsie van een causaal
systeem op een, op Ò ¼beginnend ingangssignaal kan verg. (1.11) ook geschreven worden als
ÝÒ℄ ¼voor Ò¼en ÝÒ℄
Ò
¼
Ò ℄Ü℄
Ò
¼
℄ÜÒ ℄ voor Ò ¼
De impulsresponsie beschrijft een overdrachtssysteem volledig; d.w.z. indien we de impulsresponsie
kennen, kunnen we de responsie op ieder willekeurig signaal bepalen (m.b.v. verg. (1.11).
De responsie op een eigenfunctie ÜÒ℄ Þ Ò hebben we al leren kennen; deze is ÝÒ℄ À´ÞµÞ Ò .
We bepalen deze responsie opnieuw, maar nu m.b.v. de convolutiesom. Dan is
ÜÒ℄ Þ Ò
ÝÒ℄
½
½
℄ÜÒ ℄
½
½
℄Þ Ò
½
½
℄Þ
ÞÒ
In deze laatste uitdrukking zien we dat de overdrachtsfunctie en de impulsresponsie samenhangen
volgens
À´Þµ
½
½
Ò℄Þ Ò (1.12)
De overdrachtsfunctie À´Þµ is dus enerzijds de factor waarmee het systeem de eigenfunctie Þ Ò vermenigvuldigt
en anderzijds is hij de Þ-getransformeerde van de impulsresponsie.
De impulsresponsie kan uit de overdrachtsfunctie worden bepaald via de Þ-terugtransformatie. Het
is relatief eenvoudig is om de overdrachtsfunctie van een systeem te bepalen en het ligt daarom voor
de hand om een gezochte impulsresponsie Ò℄ te bepalen door terugtransformatie van een À´Þµ. Op
de Þ-terugtransformatie komen we in par. 2.4 terug.
1.10.1 De stabiliteit van een overdrachtssysteem
We introduceren nu een belangrijke eis die we aan overdrachtssystemen zullen stellen, namelijk de
eis van stabiliteit. Wedefiniëren deze stabiliteit met:
een overdrachtssysteem is stabiel indien iedere begrensde excitatie
een begrensde responsie veroorzaakt
Deze voorwaarde voor stabiliteit wordt in de literatuur ook wel de BIBO-stabiliteit genoemd; hierbij
staat BIBO voor ‘bounded-input bounded-output’.
Een ingangssignaal ÜÒ℄ is begrensd indien het voor alle waarden van Ò voldoet aan ÜÒ℄ ½;
de waarden van het signaal zijn dan begrensd tot een interval tot . Ruwweg gezegd: het ingangssignaal
is ‘eindig’. De stabiliteit eist dan dat het bijbehorende uitgangssignaal ÝÒ℄ ook eindig
blijft en dus begrensd is. Omdat een overdrachtssysteem volledig gekarakteriseerd is door zijn impulsresponsie,
zal de stabiliteit een eis opleggen aan Ò℄; deze eis is
½
Ò ½
Ò℄ ½ ofwel: de impusresponsie is absoluut sommeerbaar. (1.13)

22 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
Bewijs.
Enerzijds geldt dat voor een willekeurig begrensd ingangssignaal ÜÒ℄ met ÜÒ℄ ½, de absolute
waarde van het uitgangssignaal voldoet aan:
ÝÒ℄
¬
½
½
Ò ℄Ü℄
½
¬
½
Ò ℄Ü℄
½
½
Ò ℄
Dit betekent dat de absolute sommeerbaarheid van Ò℄ het begrensd zijn van ÝÒ℄ (en daarmee het
bestaan van de convolutie) gegarandeert; het is daarom een voldoende voorwaarde voor stabiliteit.
Anderzijds leidt het begrensde ingangssignaal ÜÒ℄×Ò´ Ò℄µ tot een uitgangs- signaal dat voor
Ò ¼gelijk is aan
ݼ℄
½
½
℄Ü℄
½
½
℄ ×Ò´ ℄µ
½
½
℄
Deze waarde is niet begrensd indien Ò℄ niet absoluut sommeerbaar is; de gestelde eis is dus ook een
noodzakelijke voorwaarde.
¾
We zullen ons in het vervolg beperken tot stabiele overdrachtssystemen.
Voorbeeld 1.10.1 Het voorgaande lichten we toe aan de hand van het eenvoudige systeem van
Fig. 1.13. Voor ÜÒ℄ ÆÒ℄volgt uit een beschouwing van de schakeling direct dat het uitgangssignaal
ÝÒ℄ Ò℄voldoet aan
Ò℄ ¼voor Ò¼ ¼℄ ½ ½℄ ¾℄ ¾ ¡¡¡ en Ò ·½℄Ò℄
ofwel Ò℄ ¼voor Ò¼en Ò℄ Ò voor Ò ¼.
ÜÒ℄
¹ · ¹ Þ
½
¹ ÝÒ℄
Figuur 1.13: Voorbeeld.
We testen de stabiliteit van het systeem door de sommering van Ò℄ van Ò ½ tot Ò ½ te
bekijken. Vanwege Ò℄ ¼voor Ò¼krijgen we dan
½
Ò¼
½
Ò
½
½ voor ½ en Ò ½ voor ½
Ò¼
Het systeem is dus stabiel voor ½ ½.
De bepaling van À´Þµ m.b.v. Þ-transformatie (1.12) leidt tot
½
½ Ò
À´Þµ Ò Þ Ò
Ò¼
Ò¼
Þ
½
½ ´Þµ
Þ
Þ

1.10. De impulsresponsie, de convolutiesom en de stabiliteit 23
Merk op dat bovengenoemde sommering convergeert (bestaat) voor Þ ; bij een stabiel systeem
is deze convergentie dus in ieder geval gegarandeerd voor Þ ½.
Bepaal zelf nogmaals de overdrachtsfunctie, maar nu met de eerder behandelde methode d.w.z. door
de amplitude te bepalen indien ÜÒ℄ Þ Ò .
1.10.2 De lengte van een impulsresponsie
In het algemeen zal de impulsresponsie Ò℄ van een tijddiscreet systeem oneindig lang duren; wanneer
dit inderdaad het geval is spreken we van een IIR (Infinite Impulse Response) systeem.
Een belangrijke subklasse van de discrete systemen wordt gevormd door de FIR systemen (Finite
Impulse Response); dit zijn systemen waarvan de impulsresponsie een eindige lengte heeft.
Aangezien de impulsresponsie van een FIR systeem dus slechts een eindig aantal van nul verschillende
waarden bevat, is hij natuurlijk absoluut sommeerbaar; een FIR systeem is daarom altijd stabiel.
Voor IIR systemen is de stabiliteit echter niet bij voorbaat gegarandeerd.
Naast het karakteriseren van tijddiscrete systemen aan de hand van de lengte van de impulsresponsie,
kunnen we ze ook onderscheiden naar het al dan niet optreden van terugkoppellussen in de realisering
van het systeem. Indien terugkoppelingen aanwezig zijn, noemen we het systeem recursief ; wanneer
deze terugkoppellussen ontbreken, heet het systeem niet-recursief.
Meestal is een recursief systeem een IIR systeem en een niet-recursief systeem een FIR systeem.
Indien we in de realisering van Fig. 1.11 of 1.12 de ’s gelijk aan nul maken zijn er geen terugkoppellussen
aanwezig en het systeem is dan niet-recursief. De differentievergelijking heeft dan de vorm
ÝÒ℄ ¼ ÜÒ℄· ½ ÜÒ ½℄ · ¾ ÜÒ ¾℄ · ¡¡¡· Æ ÜÒ Æ℄
Het verleden van het uitgangssignaal zelf doet dus niet mee in het bepalen van het uitgangssignaal op
een bepaald moment. Voor de impulsresponsie volgt dan
Ò℄
´
Ò voor Ò ¼½¡¡¡Æ
¼ voor Ò¼en ÒÆ
De waarden van de impulsresponsie worden dus direct door de waarden van de vermenigvuldigers
gegeven.
Overigens wordt de structuur van Fig. 1.11, waarin de ’s gelijk aan nul zijn, een transversale structuur
of afgetapte vertragingslijn (tapped delay line) genoemd.
Met FIR systemen is het mogelijk om de belangrijke klasse van lineaire-fase filters te realiseren. Deze
filters worden in Hfdst. 10 behandeld.