1 - Signal Processing Systems

12 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
We merken nog op dat deze eigenschap ook inhoudt dat een excitatie ÜÒ℄ ¼een responsie
ÝÒ℄ ¼veroorzaakt (­ ½ ­ ¾ ¼); het systeem is dus ‘bronloos’ (bevat geen interne excitaties).
Omdat een systeem, dat aan de D.V. (1.4) voldoet, causaal en bronloos is geldt nog: indien
ÜÒ℄ ¼voor ÒÒ ¼ is ÝÒ℄ ¼voor ÒÒ ¼ (ga dit na). Er is dus geen uitgangssignaal
voordat het ingangssignaal ‘begint’.
1.7 De complexe rekenwijze voor sinusoïdale signalen
In de praktijk bestaan er slechts reële signalen. Veelal is het echter handig om met complexe signalen
te rekenen.
Indien we een reëel lineair systeem beschouwen met twee reële excitaties Ü ½ Ò℄ en Ü ¾ Ò℄ zijn de
bijbehorende responsies Ý ½ Ò℄ en Ý ¾ Ò℄ reëel, omdat het systeem reëel is. We kunnen echter ook (in
gedachten) een complex ingangssignaal ÜÒ℄ beschouwen met ÜÒ℄ Ü ½ Ò℄·Ü ¾ Ò℄; vanwege de
lineariteit zal dan de (complexe) responsie gelijk zijn aan ÝÒ℄ Ý ½ Ò℄·Ý ¾ Ò℄. De deelresponsies
Ý ½ Ò℄ en Ý ¾ Ò℄ zijn hierbij reëel. We vinden derhalve de volgende eigenschap voor een reëel lineair
systeem:
als ÜÒ℄ ÝÒ℄ dan geldt Ê ÜÒ℄ Ê ÝÒ℄ en ÁÑ ÜÒ℄ ÁÑ ÝÒ℄
Deze eigenschap vormt het uitgangspunt voor de complexe rekenwijze. In het hierna volgende werken
we meestal met complexe signalen.
Beschouw nu een reëel tijddiscreet sinusoïdaal ingangssignaal Ü Ö Ò℄ Ü Ñ Ó×´Ò · Ü µ. Om het
rekenen gemakkelijker te maken, gebruiken we de complexe rekenwijze:
Ü Ö Ò℄ Ê ÜÒ℄ met ÜÒ℄ Ò en Ü Ñ Ü
Het signaal ÜÒ℄ is de complexe uitbreiding van de reële sinusoïde Ü Ö Ò℄. We zien dat ÜÒ℄ een
meetkundige rij is met reden ; ÜÒ℄ verloopt dus zoals de signalen die we eerder beschouwden:
ÜÒ℄ Þ Ò met Þ
De hoek wordt de frequentie van het signaal genoemd en de factor de complexe amplitude van
het signaal. Uit deze complexe amplitude volgt de amplitude Ü Ñ van de sinusoïde met Ü Ñ en
de nulfase Ü van de sinusoïde met Ü Ö℄.
Omdat we weten dat de responsie op het signaal ÜÒ℄ Þ Ò gelijk is aan ÝÒ℄ Þ Ò À´ÞµÞ Ò
weten we ook dat de responsie op het (complexe) signaal ÜÒ℄ Ò gelijk is aan ÝÒ℄ Ò
À´ µ Ò ; we hebben slechts Þ door vervangen. Uit de complexe responsie ÝÒ℄ volgt daarna
de reële responsie Ý Ö Ò℄, volgens Ý Ö Ò℄ Ê ÝÒ℄. De complexe rekenwijze komt dus op het
volgende neer:
¯ ga van het reële ingangssignaal Ü Ö Ò℄ over op het complexe signaal ÜÒ℄ met
Ü Ö Ò℄ Ü Ñ Ó×´Ò · Ü µ Ê Ò Ê ÜÒ℄ met Ü Ñ Ü
¯ bepaal, m.b.v. de overdrachtsfunctie À´Þµ, het complexe uitgangssignaal ÝÒ℄
ÜÒ℄ Ò ÝÒ℄ Ò met À´ µ