1 - Signal Processing Systems

1.8. De frequentieresponsie À´ µ 15
. Uit het even zijn van À´ µ en het oneven zijn van ÖÀ´ µ℄ volgt immers het verloop
van deze functies voor tot ¼.
Beschouw nu de functie ´Þµ À´ÞµÀ´Þ ½ µ; voor Þ geldt
´ µÀ´ µÀ´ µÀ´ µÀ £´ µÀ´ µ ¾
De rationale functie ´Þµ À´ÞµÀ´Þ ½ µis een ‘nette’ rationale functie van Þ die op de eenheidscirkel
gelijk is aan À´ µ ¾ en heet daarom een analytische voortzetting van À´ µ ¾ .
In de vorige paragraaf hebben we in een voorbeeld het het (frequentieafhankelijke) verloop van
de amplitudefactor À´ µ berekend. Deze berekening gaat echter eenvoudiger indien we eerst
´Þµ berekenen en daarna met de substitutie Þ , het kwadraat À´ µ ¾ van de amplitudefactor
bepalen. We lichten dit toe aan de hand van een voorbeeld.
Voorbeeld 1.8.1 We beschouwen dus opnieuw de algemene tweede-orde overdrachtsfunctie
dan is
À´Þµ ¼Þ ¾· ½ Þ· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ· ¾
´Þµ À´ÞµÀ´Þ ½ µ ¼Þ ¾· ½ Þ· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ· ¾
¡ ¼Þ ¾· ½ Þ ½· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ ½· ¾
¾ ¼·¾ ½·¾ ¾·´ ¼ ½· ½ ¾ µ´Þ · Þ ½ µ· ¼ ¾´Þ ¾·Þ ¾ µ
¾ ¼·¾ ½·¾ ¾·´ ¼ ½· ½ ¾ µ´Þ · Þ ½ µ· ¼ ¾´Þ ¾·Þ ¾ µ
Nu bepalen we ´ µ en bedenken daarbij dat · ¾ Ó×´µ en ¾ · ¾ ¾ Ó×´¾µ:
À´ µ ¾ ´ µ
¾ ¼·¾ ½·¾ ¾·¾´ ¼ ½· ½ ¾ µ Ó×´µ·¾ ¼ ¾ Ó×´µ
¾ ¼ · ¾ ½ · ¾ ¾ ·¾´ ¼ ½· ½ ¾ µ Ó×´µ·¾ ¼ ¾ Ó×´µ
We zien dat in deze berekening geen goniometrische manipulaties nodig zijn.
1.8.1 De grafische constructie van À en ÖÀ ℄ m.b.v. het pool-nulpunt-diagram
In verg. (1.8) hebben we gezien dat de algemene overdrachtsfunctie geschreven kan worden als
À´Þµ ¬ Â Þ Å Æ É Æ Â
½ ´Þ Þ µ
É Å½´Þ Ô µ
hierin zijn de Þ ’s de nulpunten en de Ô ’s de polen van À´Þµ. Wanneer we m.b.v. deze uitdrukking
de amplitudefactor À´ µ bepalen, volgt
À´ µ ¬ Â
É Æ Â
½
Þ
É Å½
Ô
De factor Þ in de teller is in het complexe Þ-vlak de afstand tussen het punt (gelegen op
de eenheidscirkel) en het nulpunt Þ . Deze afstand hangt af van de frequentie ; hoe deze afstand als
functie van varieert is grafisch uit een pool-nulpunt-diagram af te leiden. Hetzelfde geldt voor de
factor Ô in de noemer, die de afstand van het punt tot de pool Ô voorstelt. Een en ander is
in Fig. 1.9 toegelicht; ga na hoe de afstanden variëren indien het interval van 0 tot doorloopt.