1 - Signal Processing Systems

1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 9
Wat betreft Ü en Ý komen de variabelen
ÜÒ℄ÜÒ ½℄ ¡¡¡ÜÒ Ä℄en ÝÒ℄ÝÒ ½℄ ¡¡¡ÝÒ Ä℄
voor.
Het elimineren van de Ä ¾ ·¾Ä ×-variabelen uit de Ä ¾ ·¾Ä·½ vergelijkingen leidt dan tot één
vergelijking tussen de Ü- enÝ-variabelen; de algemene vorm van deze vergelijking is de in (1.4)
gegeven D.V.
¾
De D.V. (1.4) kan als volgt gelezen worden:
het uitgangssignaal op een bepaald moment ÝÒ℄ is een lineaire combinatie van
– het ingangssignaal ÜÒ℄ op dat moment
– vertragingen van het ingangssignaal ÜÒ℄ (waarden ÜÒ ℄ uit het verleden)
– vertragingen van het uitgangssignaal ÝÒ℄ (waarden ÝÒ ℄ uit het verleden).
Deze uitspraak weerspiegelt de causaliteit van het systeem.
Omdat we weten dat Þ Ò een eigenfunctie van het systeem is en dus
ÜÒ℄ Þ Ò
ÝÒ℄À´ÞµÞ Ò Þ Ò met À´Þµ
bepalen we opnieuw het verband tussen de amplitudes en , maar nu uitgaande van de D.V. (1.4).
Daartoe substitueren we ÜÒ℄ Þ Ò en ÝÒ℄ Þ Ò in de D.V.; dit leidt tot
ofwel
Þ Ò ¬ ¼ Þ Ò ·¬ ½ Þ Ò ½ · ¬ ¾ Þ Ò ¾ ·¡¡¡¬ Ä Þ Ò Ä
·« ½ Þ Ò ½·« ¾ Þ Ò ¾·¡¡¡·« Ä Þ Ò Ä
½ « ½ Þ ½ « ¾ Þ ¾ ¡¡¡ « Ä Þ Ä Þ Ò ¬ ¼·¬ ½ Þ ½·¬ ¾ Þ ¾·¡¡¡·¬ Ä Þ Ä Þ Ò
Voor de overdrachtsfunctie H(z) volgt hieruit
À´Þµ ¬ ¼·¬ ½ Þ ½·¬ ¾ Þ ¾·¡¡¡·¬ È
Ä Þ Ä Ä¼
½ « ½ Þ ½ « ¾ Þ ¾ ¡¡¡ « Ä Þ Ä ¬ Þ
È
½ Ľ
« Þ (1.5)
We hebben nu dus twee beschrijvingen van het digitale overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄;één m.b.v.
de overdrachtsfunctie (1.5) en één m.b.v. de differentievergelijking (1.4). Merk op dat de coëfficiënten
die in deze beschrijvingen voorkomen dezelfde zijn. Dit wil zeggen dat uit een gegeven D.V. direct
de overdrachtsfunctie volgt en omgekeerd. Aangezien het in de praktijk eenvoudig is om de overdrachtsfunctie
van een systeem te bepalen, zal het bepalen van de D.V. steeds gebeuren door eerst de
overdrachtsfunctie À´Þµ te bepalen en, daarvan uitgaand, de D.V. op te schrijven.
Wat betreft de coëfficiënten van de D.V. en van À´Þµ (« ’s en ¬ ’s), constateren we dat deze reëel en
constant zijn. Dit komt omdat de in het systeem voorkomende vermenigvuldigers reële constanten
zijn.
Verder merken we op dat de indexering in (1.4) en (1.5) van 0 tot Ä loopt. Hierbij is Ä gelijk aan
het aantal vertragers dat in het systeem voorkomt.
Het is echter mogelijk dat één of meerdere van de coëfficiënten (« ’s en ¬ ’s) gelijk aan nul zijn. We
willen ons niet beperken tot het geval dat ¬ ¼ ongelijk aan nul is, maar er expliciet rekening mee houden
dat de ¬-coëfficiënten kunnen ‘beginnen’ met een index  ( ¼) ofwel¬ ¼ ¬ ½ ¡¡¡ ¬  ½ ¼
en ¬ Â ¼.
Ook brengen we in de notatie expliciet tot uiting dat de « ’s gelijk aan nul kunnen zijn voor Å
(met Å Ä)ende¬ ’s gelijk aan nul kunnen zijn voor Æ(met Æ Ä).