1 - Signal Processing Systems

1.10. De impulsresponsie, de convolutiesom en de stabiliteit 23
Merk op dat bovengenoemde sommering convergeert (bestaat) voor Þ ; bij een stabiel systeem
is deze convergentie dus in ieder geval gegarandeerd voor Þ ½.
Bepaal zelf nogmaals de overdrachtsfunctie, maar nu met de eerder behandelde methode d.w.z. door
de amplitude te bepalen indien ÜÒ℄ Þ Ò .
1.10.2 De lengte van een impulsresponsie
In het algemeen zal de impulsresponsie Ò℄ van een tijddiscreet systeem oneindig lang duren; wanneer
dit inderdaad het geval is spreken we van een IIR (Infinite Impulse Response) systeem.
Een belangrijke subklasse van de discrete systemen wordt gevormd door de FIR systemen (Finite
Impulse Response); dit zijn systemen waarvan de impulsresponsie een eindige lengte heeft.
Aangezien de impulsresponsie van een FIR systeem dus slechts een eindig aantal van nul verschillende
waarden bevat, is hij natuurlijk absoluut sommeerbaar; een FIR systeem is daarom altijd stabiel.
Voor IIR systemen is de stabiliteit echter niet bij voorbaat gegarandeerd.
Naast het karakteriseren van tijddiscrete systemen aan de hand van de lengte van de impulsresponsie,
kunnen we ze ook onderscheiden naar het al dan niet optreden van terugkoppellussen in de realisering
van het systeem. Indien terugkoppelingen aanwezig zijn, noemen we het systeem recursief ; wanneer
deze terugkoppellussen ontbreken, heet het systeem niet-recursief.
Meestal is een recursief systeem een IIR systeem en een niet-recursief systeem een FIR systeem.
Indien we in de realisering van Fig. 1.11 of 1.12 de ’s gelijk aan nul maken zijn er geen terugkoppellussen
aanwezig en het systeem is dan niet-recursief. De differentievergelijking heeft dan de vorm
ÝÒ℄ ¼ ÜÒ℄· ½ ÜÒ ½℄ · ¾ ÜÒ ¾℄ · ¡¡¡· Æ ÜÒ Æ℄
Het verleden van het uitgangssignaal zelf doet dus niet mee in het bepalen van het uitgangssignaal op
een bepaald moment. Voor de impulsresponsie volgt dan
Ò℄
´
Ò voor Ò ¼½¡¡¡Æ
¼ voor Ò¼en ÒÆ
De waarden van de impulsresponsie worden dus direct door de waarden van de vermenigvuldigers
gegeven.
Overigens wordt de structuur van Fig. 1.11, waarin de ’s gelijk aan nul zijn, een transversale structuur
of afgetapte vertragingslijn (tapped delay line) genoemd.
Met FIR systemen is het mogelijk om de belangrijke klasse van lineaire-fase filters te realiseren. Deze
filters worden in Hfdst. 10 behandeld.