1 - Signal Processing Systems

14 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
De uitdrukking voor À´ µ kan vereenvoudigd worden door gebruik te maken van goniometrische
relaties. Deze vereenvoudiging kan ook worden bereikt met een rekenmethode die we in de volgende
paragraaf zullen behandelen.
Indien we slechts geïnteresseerd zijn in de frequentieresponsie voor enkele speciale waarden van en
niet in de complete frequentieafhankelijkheid, kunnen we deze gegeven waarden van natuurlijk ook
rechtstreeks in À substitueren.
Wanneer we bijv. slechts het gedrag voor ¾ willen bepalen substitueren we Þ ¾ direct
in À´Þµ:
Dan is
en
À´ ¾ µÀ´µ
À
×
¾ ¼ ¾ · ¾ ½
¾ ¼ ¾ · ¾ ½
½
ÖÀ℄ atan
¾ ¼
¼· ½ · ¾
¼ · ½ · ¾
´
½
atan
¾ ¼
· voor ¾ ¼ ¼
· voor ¾ ¼ ¼
Een zeer gemakkelijk te berekenen waarde van À is de waarde voor ¼ofwel Þ ½; À´½µ
À´ ¼ µ beschrijft de overdracht voor een constant ingangssignaal (een ‘gelijkspanning’).
1.8 De frequentieresponsie À ´ µ
Voor de overdrachtsfunctie À´Þµ geldt de belangrijke spiegeleigenschap:
À´Þ £ µÀ £´Þµ (1.9)
Voor de frequentieresponsie À´ µ volgt hieruit
À´ µÀ £´ µ en dus (1.10)
À´ µ À´ µ en ÖÀ´ µ℄ ÖÀ´ µ℄
De amplitudefactor À is dus een even functie van en de faseverschuiving ÖÀ℄ is een oneven
functie van .
Bewijs.
De overdrachtsfunctie À´Þµ is het quotiënt van twee polynomen in Þ met reële coëfficiënten; zie
verg. (1.7). Wanneer we nu Þ door Þ £ vervangen, zal een term Þ in teller of noemer van À´Þµ
vervangen worden door ´Þ £ µ . Omdat de coëfficiënt reëel is geldt: ´Þ £ µ ´ Þ µ £ . Een
vervanging van iedere term van de teller en de noemer door zijn complex toegevoegde, leidt tot de
complex toegevoegde van het totale quotiënt en dus tot À´Þ £ µÀ £´Þµ.
Voor Þ geldt Þ £ ´ µ £ ; dit resulteert in À´ µÀ £´ µ.
¾
De frequentieresponsie À´ µ is een periodieke functie van met een periode ¾. Verder vertoont de
responsie de hierboven genoemde spiegelsymmetrie. Bij het tekenen van frequentiekarakteristieken
kunnen we dus volstaan met het weergeven van À´ µ en ÖÀ´ µ℄ in het interval ¼tot