1 - Signal Processing Systems

1.7. De complexe rekenwijze voor sinusoïdale signalen 13
¯ en bepaal het reële uitgangssignaal Ý Ö Ò℄
Ý Ö Ò℄ Ê ÝÒ℄ Ê Ò
De reële responsie op uitgangssignaal is daarmee gelijk aan
Ý Ö Ò℄ À´ µÜ Ñ Ó×´Ò · Ü · ÖÀ℄µ
Ý Ñ Ó×´Ò · Ý µ met Ý Ñ À´ µÜ Ñ en Ý Ü · ÖÀ´ µ℄
De functie À´ µ heet de frequentieresponsie van het systeem.
De amplitudefactor À´ µ is de (frequentieafhankelijke) factor waarmee het systeem de amplitude
van het ingangssignaal vermenigvuldigt.
De faseverschuiving (of fasedraaiing) ÖÀ´ µ℄ geeft aan met welke (frequentieafhankelijke) hoek
het systeem de fase van het ingangssignaal vermeerdert.
N.B.
De frequentieresponsie À´ µ is een periodieke functie van met een periode ¾. Eenvermeerdering
van met een (geheel) aantal malen ¾ verandert de waarde van immers niet.
Het is daarom gebruikelijk om het verloop van À´ µ, À´ µ en ÖÀ´ µ℄ slechts in één
periode, met lengte ¾, te beschouwen; voor deze periode wordt meestal het gebied van ¼
tot ¾of van tot ·genomen.
Opmerking
De complexe rekenwijze voor sinusoïdale signalen in tijddiscrete systemen is analoog aan
die bij de tijdcontinue systemen. Wel zien we dat de rol van × uit het tijdcontinue
overgenomen wordt door Þ . De rol die de imaginaire as (× ) inhet×-vlak heeft,
wordt in het tijddiscrete dus door de eenheidscirkel (Þ )inhetÞ-vlak overgenomen.
Voorbeeld 1.7.1 Beschouw een willekeurig tweede orde digitaal filter; dit heeft de overdrachtsfunctie
À´Þµ ¼Þ ¾· ½ Þ· ¾
¼ Þ ¾· ½ Þ· ¾
en de frequentieresponsie
À´ µ ¼ ¾ · ½ · ¾
¼ ¾ · ½ · ¾
Om de responsie op de sinusoïde Ü Ö Ò℄ Ü Ñ Ó×´Ò · Ü µ te bepalen moeten we À´ µ en
ÖÀ´ µ℄ berekenen. Daarvoor herschrijven we À´ µ als
dan volgt
À´ µ ¼Ó×´¾µ·×Ò´¾µ · ½ Ó×´µ·×Ò´µ · ¾
¼ Ó×´¾µ·×Ò´¾µ · ½ Ó×´µ·×Ò´µ · ¾
×
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¾· ¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ ¾
en
À´ µ
Ö À´ µ
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¾· ¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ ¾
¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ
atan
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾
´· voor ¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¼µ
´· voor ¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾ ¼µ
¼ ×Ò´¾µ· ½ ×Ò´µ
atan
¼ Ó×´¾µ· ½ Ó×´µ· ¾