1 - Signal Processing Systems

More documents

Recommendations

Info

22 Hoofdstuk 1. <strong>Signal</strong>en en systemen in de discrete tijd Bewijs. Enerzijds geldt dat voor een willekeurig begrensd ingangssignaal ÜÒ℄ met ÜÒ℄ ½, de absolute waarde van het uitgangssignaal voldoet aan: ÝÒ℄ ¬ ½ ½ Ò ℄Ü℄ ½ ¬ ½ Ò ℄Ü℄ ½ ½ Ò ℄ Dit betekent dat de absolute sommeerbaarheid van Ò℄ het begrensd zijn van ÝÒ℄ (en daarmee het bestaan van de convolutie) gegarandeert; het is daarom een voldoende voorwaarde voor stabiliteit. Anderzijds leidt het begrensde ingangssignaal ÜÒ℄×Ò´ Ò℄µ tot een uitgangssignaal dat voor Ò ¼gelijk is aan Ý¼℄ ½ ½ ℄Ü℄ ½ ½ ℄ ×Ò´ ℄µ ½ ½ ℄ Deze waarde is niet begrensd indien Ò℄ niet absoluut sommeerbaar is; de gestelde eis is dus ook een noodzakelijke voorwaarde. ¾ We zullen ons in het vervolg beperken tot stabiele overdrachtssystemen. Voorbeeld 1.10.1 Het voorgaande lichten we toe aan de hand van het eenvoudige systeem van Fig. 1.13. Voor ÜÒ℄ ÆÒ℄volgt uit een beschouwing van de schakeling direct dat het uitgangssignaal ÝÒ℄ Ò℄voldoet aan Ò℄ ¼voor Ò¼ ¼℄ ½ ½℄ ¾℄ ¾ ¡¡¡ en Ò ·½℄Ò℄ ofwel Ò℄ ¼voor Ò¼en Ò℄ Ò voor Ò ¼. ÜÒ℄ ¹ · ¹ Þ ½ ¹ ÝÒ℄ Figuur 1.13: Voorbeeld. We testen de stabiliteit van het systeem door de sommering van Ò℄ van Ò ½ tot Ò ½ te bekijken. Vanwege Ò℄ ¼voor Ò¼krijgen we dan ½ Ò¼ ½ Ò ½ ½ voor ½ en Ò ½ voor ½ Ò¼ Het systeem is dus stabiel voor ½ ½. De bepaling van À´Þµ m.b.v. Þ-transformatie (1.12) leidt tot ½ ½ Ò À´Þµ Ò Þ Ò Ò¼ Ò¼ Þ ½ ½ ´Þµ Þ Þ
1.10. De impulsresponsie, de convolutiesom en de stabiliteit 23 Merk op dat bovengenoemde sommering convergeert (bestaat) voor Þ ; bij een stabiel systeem is deze convergentie dus in ieder geval gegarandeerd voor Þ ½. Bepaal zelf nogmaals de overdrachtsfunctie, maar nu met de eerder behandelde methode d.w.z. door de amplitude te bepalen indien ÜÒ℄ Þ Ò . 1.10.2 De lengte van een impulsresponsie In het algemeen zal de impulsresponsie Ò℄ van een tijddiscreet systeem oneindig lang duren; wanneer dit inderdaad het geval is spreken we van een IIR (Infinite Impulse Response) systeem. Een belangrijke subklasse van de discrete systemen wordt gevormd door de FIR systemen (Finite Impulse Response); dit zijn systemen waarvan de impulsresponsie een eindige lengte heeft. Aangezien de impulsresponsie van een FIR systeem dus slechts een eindig aantal van nul verschillende waarden bevat, is hij natuurlijk absoluut sommeerbaar; een FIR systeem is daarom altijd stabiel. Voor IIR systemen is de stabiliteit echter niet bij voorbaat gegarandeerd. Naast het karakteriseren van tijddiscrete systemen aan de hand van de lengte van de impulsresponsie, kunnen we ze ook onderscheiden naar het al dan niet optreden van terugkoppellussen in de realisering van het systeem. Indien terugkoppelingen aanwezig zijn, noemen we het systeem recursief ; wanneer deze terugkoppellussen ontbreken, heet het systeem niet-recursief. Meestal is een recursief systeem een IIR systeem en een niet-recursief systeem een FIR systeem. Indien we in de realisering van Fig. 1.11 of 1.12 de ’s gelijk aan nul maken zijn er geen terugkoppellussen aanwezig en het systeem is dan niet-recursief. De differentievergelijking heeft dan de vorm ÝÒ℄ ¼ ÜÒ℄· ½ ÜÒ ½℄ · ¾ ÜÒ ¾℄ · ¡¡¡· Æ ÜÒ Æ℄ Het verleden van het uitgangssignaal zelf doet dus niet mee in het bepalen van het uitgangssignaal op een bepaald moment. Voor de impulsresponsie volgt dan Ò℄ ´ Ò voor Ò ¼½¡¡¡Æ ¼ voor Ò¼en ÒÆ De waarden van de impulsresponsie worden dus direct door de waarden van de vermenigvuldigers gegeven. Overigens wordt de structuur van Fig. 1.11, waarin de ’s gelijk aan nul zijn, een transversale structuur of afgetapte vertragingslijn (tapped delay line) genoemd. Met FIR systemen is het mogelijk om de belangrijke klasse van lineaire-fase filters te realiseren. Deze filters worden in Hfdst. 10 behandeld.
Page 1 and 2: Hoofdstuk 1 Signalen en systemen in
Page 3 and 4: 1.3. De elementen van een digitaal
Page 5 and 6: 1.5. De eigenfunctie Þ Ò van het
Page 7 and 8: 1.6. Het overdrachtssysteem, de ove
Page 13 and 14: 1.7. De complexe rekenwijze voor si
Page 15 and 16: 1.8. De frequentieresponsie À´
Page 17 and 18: 1.9. De realisering van een overdra
Page 19 and 20: 1.10. De impulsresponsie, de convol
Page 21: 1.10. De impulsresponsie, de convol

1 - Signal Processing Systems

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?