1 - Signal Processing Systems

More documents

Recommendations

Info

4 Hoofdstuk 1. <strong>Signal</strong>en en systemen in de discrete tijd ½ Ò℄ ¾ Ò℄ Ê· ½ Ò℄· ¾ Ò℄ ¹ Ò℄ «Ò℄ ¹ « ¹ Ò℄ ¹ Ò ½℄ ¹ Figuur 1.3: De lineaire elementen van digitale filters: van links naar rechts de opteller, de vermenigvuldiger en de vertrager. Overigens zullen we later ook andere elementen in beschouwing nemen, zoals de kwantisator, de bemonsteringfrequentie-verlager en -verhoger. Een digitaal filter is een overdrachtssysteem dat is opgebouwd uit een eindig aantal elementen. Het systeem wordt geëxciteerd door één ingangssignaal ÜÒ℄ en we beschouwen één signaal ÝÒ℄ als het uitgangssignaal (de responsie) van het systeem. In Fig. 1.4 is een algemeen filter schetsmatig weergeven. ÜÒ℄ Ê · ÝÒ℄ ¹ ¹ ¹ « ¹ ¹ ¹ ¹ Figuur 1.4: Het digitale filter als black box. 1.4 De toestandsbeschrijving van het systeem In Fig. 1.5 is het algemene systeem opnieuw getekend; nu zijn echter slechts de optellers en vermenigvuldigers in een ‘black box’ getekend terwijl, behalve het ingangs- en uitgangssignaal, de vertragers uitwendig aan de box zijn aangesloten. ÜÒ℄ Ê · ÝÒ℄ ¹ ¹ ¹ « ¹ ¹ ¹ × ½Ò ·½℄ × ½Ò℄ ¹ × ¾Ò·½℄ × ¾Ò℄ ¡¡¡ ¹ × ÄÒ·½℄ × ÄÒ℄ Figuur 1.5: Het digitale filter als black box met naar buiten gevoerde geheugenelementen. De box ontvangt een aantal signalen aan zijn ingangen (ÜÒ℄, × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄), combineert deze signalen op een lineaire manier en vormt zo de van de box uitgaande signalen (ÝÒ℄, × ½ Ò ·½℄, × ¾ Ò·½℄¡¡¡× Ä Ò·½℄).
1.5. De eigenfunctie Þ Ò van het systeem 5 Op een bepaald moment Ò ¼ wordt het ingangssignaal ÜÒ ¼ ℄ aan de box aangeboden terwijl de geheugenelementen de waarden × ½ Ò ¼ ℄, × ¾ Ò ¼ ℄ ¡¡¡× Ä Ò ¼ ℄hebben; hiervan uitgaand berekent de box dan de waarde ÝÒ ¼ ℄ van het uitgangssignaal en ook de nieuwe inhouden van de geheugenelementen (× ½ Ò ¼ ·½℄, × ¾ Ò ¼·½℄¡¡¡× Ä Ò ¼·½℄). Daarna staat het systeem klaar om de volgende waarde van het ingangssignaal te ontvangen en opnieuw de berekeningen uit te voeren; enz. enz. De uit de box komende signalen worden berekend door de ingaande signalen te combineren m.b.v. de operaties ‘optellen’ en ‘vermenigvuldigen met constanten’. Ieder uitgaand signaal is dus een lineaire combinatie van de ingaande signalen. De vergelijkingen zullen daarom de volgende vorm hebben: ÝÒ℄ ½ × ½ Ò℄· ¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· Ä × Ä Ò℄·ÜÒ℄ × ½ Ò ·½℄ ½½ × ½ Ò℄· ½¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ½Ä × Ä Ò℄· ½ ÜÒ℄ × ¾ Ò·½℄ ¾½ × ½ Ò℄· ¾¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ¾Ä × Ä Ò℄· ¾ ÜÒ℄ . . . (1.1) × Ä Ò ·½℄ Ä½ × ½ Ò℄· Ä¾ × ¾ Ò℄·¡¡¡· ÄÄ × Ä Ò℄· Ä ÜÒ℄ In matrixnotatie noteren we deze vergelijkingen als: met ÝÒ℄ ×Ò℄·ÜÒ℄ en ×Ò ·½℄×Ò℄·ÜÒ℄ (1.2) ¾ ¿ ½½ ½¾ ¡¡¡ ½Ä ¾½ ¾¾ ¡¡¡ ¾Ä . . . Ä½ Ä¾ ¡¡¡ ÄÄ ¾ ¿ ½ ¾ . Ä ½ ¾ ¡¡¡ Ä ℄ en ×Ò℄ ¾ × ½ Ò℄ × ¾ Ò℄ . × Ä Ò℄ De parameters ½½ ¡¡¡ ÄÄ ½ ¡¡¡ Ä ½ ¡¡¡ Ä en (en daarmee ook de waarden van de matrix en van de vectoren en ) worden bepaald door de structuur van het systeem en door de waarden van de vermenigvuldigers. De variabelen × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄ heten de toestandsvariabelen (Engels: state variables); zij zijn veroorzaakt door het verleden van het signaalverloop, zijn opgeslagen in de geheugenelementen en bepalen tezamen met het ingangssignaal ÜÒ℄, het toekomstige verloop van de variabelen. De vergelijkingen (1.1) en (1.2) heten de toestandsvergelijkingen en de vector ×Ò℄ heet de toestandsvector. Verg. (1.1) en (1.2) zeggen dus: uit het ingangssignaal en de toestand op een bepaald moment volgt (d.m.v. lineaire combinatie) ten eerste het uitgangssignaal en ten tweede de volgende toestand van het systeem. Indien de toestand ×Ò ¼ ℄ op een bepaald moment Ò ¼ bekend is en het ingangssignaal ÜÒ℄ bekend is vanaf dat moment Ò ¼ , kan m.b.v. verg. (1.1) de toestand en het uitgangssignaal voor Ò Ò ¼ achtereenvolgens worden bepaald: ¿ ÝÒ ¼ ℄×Ò ¼ ℄·ÜÒ ¼ ℄×Ò ¼ ·½℄×Ò ¼ ℄·ÜÒ ¼ ℄ ÝÒ ¼·½℄×Ò ¼·½℄·ÜÒ ¼ ·½℄×Ò ¼·¾℄×Ò ¼ ·½℄·ÜÒ ¼·½℄ ÝÒ ¼·¾℄×Ò ¼·¾℄·ÜÒ ¼ ·¾℄×Ò ¼·¿℄×Ò ¼ ·¾℄·ÜÒ ¼·¾℄ Voorbeeld 1.4.1 Ga na dat voor de schakeling van Fig. 1.6 geldt ¾ ¿ ×Ò ·½℄ · ¼ ½ ¼ ¼ ×Ò℄· ´ · µ ½ ¾ ½ ¼ ¿ ÜÒ℄ en ÝÒ℄ ´·µ´ · µ ´ · µ℄ ×Ò℄·´· µÜÒ℄. enz. enz.
Page 1 and 2: Hoofdstuk 1 Signalen en systemen in
Page 3: 1.3. De elementen van een digitaal
Page 7 and 8: 1.6. Het overdrachtssysteem, de ove
Page 13 and 14: 1.7. De complexe rekenwijze voor si
Page 15 and 16: 1.8. De frequentieresponsie À´
Page 17 and 18: 1.9. De realisering van een overdra
Page 19 and 20: 1.10. De impulsresponsie, de convol
Page 21 and 22: 1.10. De impulsresponsie, de convol
Page 23: 1.10. De impulsresponsie, de convol

1 - Signal Processing Systems

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?