1 - Signal Processing Systems
1 - Signal Processing Systems
1 - Signal Processing Systems
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
20 Hoofdstuk 1. <strong>Signal</strong>en en systemen in de discrete tijd<br />
1.10 De impulsresponsie Ò℄, de convolutiesom en de stabiliteit van een<br />
overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄<br />
Tot nu toe zijn we twee manieren tegengekomen waarmee we een overdrachtssysteem volledig kunnen<br />
beschrijven, de differentievergelijking en de overdrachtsfunctie. We voegen hier nu de beschrijvingswijze<br />
m.b.v. de impulsresponsie Ò℄ aan toe en zullen zien dat de responsie ÝÒ℄ op een<br />
willekeurig signaal ÜÒ℄ gelijk is aan de convolutiesom<br />
ÝÒ℄ Ò℄£ÜÒ℄<br />
De eenheidsimpuls is gedefinieerd als (zie par. 1.1) ÆÒ℄ ½voor Ò ¼en ÆÒ℄ ¼voor Ò ¼en<br />
bezit de belangrijke zeefeigenschap waarmee een willekeurig signaal kan worden geschreven als een<br />
sommering van gewogen verschuivingen van deze eenheidsimpuls:<br />
ÜÒ℄ <br />
½<br />
½<br />
ÆÒ ℄Ü℄<br />
De impulsresponsie is per definitie de responsie van het systeem op de eenheidsimpuls:<br />
ÜÒ℄ ÆÒ℄ ÝÒ℄Ò℄<br />
De door ons beschouwde systemen zijn lineair en tijdinvariant (zie par. 1.6). Voor dit soort systeem<br />
kan de responsie ÝÒ℄ op een willekeurige excitatie ÜÒ℄ m.b.v. de impulsresponsie, worden bepaald.<br />
Immers<br />
per definitie geldt ÆÒ℄ Ò℄,<br />
uit de tijdinvariantie volgt ÆÒ ℄ Ò ℄,<br />
uit de lineariteit volgt ÆÒ ℄Ü℄ Ò ℄Ü℄,<br />
en eveneens<br />
È ½<br />
½ ÆÒ ℄Ü℄ È ½<br />
½ Ò ℄Ü℄.<br />
Met behulp van de zeefeigenschap van de deltafunctie volgt dat het linkerlid van de laatste uitdrukking<br />
gelijk is aan ÜÒ℄. De responsie ÝÒ℄ op een excitatie ÜÒ℄ kan dus worden geschreven als<br />
ÝÒ℄ <br />
½<br />
½<br />
Ò ℄Ü℄<br />
Deze sommering is een zogenaamde convolutiesom en kan (na vervanging van door Ò<br />
geschreven worden als<br />
ÝÒ℄ <br />
½<br />
½<br />
℄ÜÒ ℄<br />
) ook<br />
In het vervolg zullen we de convolutiesom symbolisch noteren m.b.v. een £-symbool:<br />
ÝÒ℄ Ò℄£ÜÒ℄<br />
½<br />
½<br />
Ò ℄Ü℄ <br />
½<br />
½<br />
℄ÜÒ ℄ (1.11)<br />
De convolutiesom is de tegenhanger van de convolutieintegraal uit het tijdcontinue en geeft aan hoe<br />
het verleden van het ingangssignaal meeweegt bij het bepalen van het uitgangssignaal op een bepaald<br />
moment. De impulsresponsie Ò℄ fungeert hierbij als weegfunctie. Zo zal de waarde ½℄ aangeven<br />
hoe sterk het ingangssignaal van 176 ‘momenten’ terug, ÜÒ ½℄, meeweegt in het huidige uitgangssignaal<br />
ÝÒ℄.
Change language