1 - Signal Processing Systems

6 Hoofdstuk 1. Signalen en systemen in de discrete tijd
¹
¹
¹
·
¹ ÝÒ℄
ÜÒ℄
¹ · ¹ × ½ Ò℄
¹ ¹ × ¾ Ò℄¹ · ¹ × ¿ Ò℄¹ ·
Á
¹
Figuur 1.6: Voorbeeld.
1.5 De eigenfunctie Þ Ò van het systeem
Voor de tijdcontinue lineaire tijdonafhankelijke overdrachtssystemen is het signaal ×Ø een eigenfunctie;
het rekenen met deze signalen is eenvoudig en is van voordeel om de algemene systeemeigenschappen
te beschrijven.
Bij de nu beschouwde tijddiscrete systemen zoeken we ook naar zulke eigenfuncties, d.w.z. naar
functies ÕÒ℄ die onvervormd door het systeem worden doorgegeven. Met ‘onvervormd’ bedoelen we
dat indien het ingangssignaal gelijk is aan ÜÒ℄ ÕÒ℄, het uitgangssignaal slechts een factor scheelt
met het ingangssignaal: ÝÒ℄ factor ¢ ÕÒ℄.
We beschouwen eerst een eenvoudig systeem dat slechts uit één vertrager bestaat en proberen een
eigenfunctie ÕÒ℄ van dit systeem te vinden.
Voor de vertrager met ingangssignaal ÕÒ℄ is het uitgangssignaal gelijk aan ÕÒ ½℄; zie linkerhelft
van Fig. 1.7. Indien ÕÒ℄ een eigenfunctie is moeten ingangs- en uitgangssignaal evenredig aan elkaar
zijn d.w.z. ÕÒ℄ ÞÕÒ ½℄ ofwel ÕÒ ½℄ Þ ½ ÕÒ℄. Dan geldt dus
ÕÒ℄ ÞÕÒ ½℄ Þ ¾ ÕÒ ¾℄ Þ ¿ ÕÒ ¿℄ ¡¡¡ Þ Ò Õ¼℄ ¡¡¡
waaruit we concluderen dat de eigenfunctie ÕÒ℄ een meetkundige rij is met een willekeurig reden Þ:
ÕÒ℄ Õ¼℄Þ Ò
ÕÒ℄
¹ ÕÒ ¹
½℄ Þ Ò ¹ Þ
Þ ½ ¹
Ò ½
Figuur 1.7: Symbolen voor de vertrager.
In de rechterhelft van Fig. 1.7 is de tijdvertrager nogmaals getekend met een ingangssignaal Þ Ò
(meetkundige rij met reden Þ en amplitude ); het uitgangssignaal is dan gelijk aan Þ Ò ½
Þ ½ Þ Ò (meetkundige rij met reden Þ en amplitude Þ ½ ). De vertrager vermenigvuldigt een ingangssignaal
dat evenredig met een meetkundige rij Þ Ò verloopt dus met de factor Þ ½ . Het is daarom
gebruikelijk om de vertrager aan te duiden met het symbool Þ ½ , zoals dit ook in de figuur is gebeurd.