1 - Signal Processing Systems

1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 11
¹
½
¹
· ÞÎ ¹ Î
Þ ½ ¹ ÞÏ · ¹
Þ
½
½
Ï ¹
¾
¹
·
¾
Figuur 1.8: Voorbeeld.
Wanneer we nu de gelijkheid
Ó
Ó
Ò½ ½ Þ ½ ¾ Þ ¾
Ò ½ Þ ½ ·´ ¾ ½ ½ µÞ ¾
beschouwen, en ons realiseren dat de ‘operatie’ Þ ½ (populair gezegd) overeenkomt met eenmaal
vertragen, Þ ¾ met twee maal vertragen etc., herkennen we direct de differentievergelijking
ÝÒ℄ ½ ÝÒ ½℄ ¾ ÝÒ ¾℄ ½ ÜÒ ½℄·´ ¾ ½ ½ µÜÒ ¾℄
We beëindigen deze paragraaf met het noemen van vier fundamentele eigenschappen van het
beschouwde overdrachtssysteem en wel het reëel zijn, het causaal zijn, het tijdinvariant zijn en het
lineair zijn van de signaaloverdracht ÜÒ℄ ÝÒ℄. Deze eigenschappen volgen direct uit het feit dat
het systeem beschreven wordt met een D.V. volgens (1.4) waarbij de coëfficiënten (« ’s en ¬ ’s) reëel
en constant zijn.
Het systeem is reëel, dit betekent: indien het ingangssignaal ÜÒ℄ reëel is, dan is ook het uitgangssignaal
ÝÒ℄ reëel.
Het systeem is causaal, dit betekent: indien twee ingangssignalen Ü ½ Ò℄ en Ü ¾ Ò℄ gelijk aan elkaar
zijn tot een bepaald moment Ò ¼ (Ü ½ Ò℄ Ü ¾ Ò℄voor ÒÒ ¼ ), zijn ook de bijbehorende responsies
gelijk aan elkaar tot het moment Ò ¼ (Ý ½ Ò℄ Ý ¾ Ò℄voor ÒÒ ¼ ). Deze eigenschap volgt
uit de D.V. (1.4) omdat een uitgangssignaal op een zeker moment niet bepaald wordt door de
toekomst van in- of uitgangssignaal maar slechts door het verleden. Het systeem bevat immers
slechts vertragers, geen ‘versnellers’.
Het systeem is tijdinvariant (tijdonafhankelijk), dit betekent: als ÜÒ℄ ÝÒ℄ dan geldt ÜÒ
Ò ¼ ℄ ÝÒ Ò ¼ ℄. Een tijdverschuiving van het ingangssignaal resulteert dus in eenzelfde
tijdverschuiving van het uitgangssignaal. Deze eigenschap volgt uit het feit dat de coëfficiënten
van de D.V. constant zijn.
Het systeem is lineair, dit betekent: als Ü ½ Ò℄ Ý ½ Ò℄ en Ü ¾ Ò℄ Ý ¾ Ò℄ dan ­ ½ Ü ½ Ò℄ ·
­ ¾ Ü ¾ Ò℄ ­ ½ Ý ½ Ò℄·­ ¾ Ý ¾ Ò℄. Een lineaire combinatie van ingangssignalen resulteert dus
in dezelfde lineaire combinatie van de respectieve uitgangssignalen. Verifieer zelf de juistheid
van deze uitspraak door de signaalparen in de D.V. in te vullen.