1 - Signal Processing Systems

1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 7
We testen nu of de meetkundige rij ook een eigenfunctie is van het algemene tijddiscrete systeem
door na te gaan of, wanneer het ingangssignaal volgens ÜÒ℄ Þ Ò verloopt, de vergelijkingen
oplosbaar zijn indien we ervan uit gaan dat alle signalen in het systeem evenredig met Þ Ò verlopen.
We substitueren daartoe de signaalverlopen
ÜÒ℄ Þ Ò × ½ Ò℄Ë ½ Þ Ò × ¾ Ò℄Ë ¾ Þ Ò ¡¡¡ × Ä Ò℄Ë Ä Þ Ò en ÝÒ℄ Þ Ò
in de toestandsvergelijkingen; dit leidt tot
Ë ½ Þ Ò·½ ½½ Ë ½ Þ Ò · ½¾ Ë ¾ Þ Ò · ¡¡¡· ½Ä Ë Ä Þ Ò· ½ Þ Ò
Ë ¾ Þ Ò·½ ¾½ Ë ½ Þ Ò · ¾¾ Ë ¾ Þ Ò · ¡¡¡· ¾Ä Ë Ä Þ Ò· ¾ Þ Ò
.
.
.
Ë Ä Þ Ò·½ Ľ Ë ½ Þ Ò · ľ Ë ¾ Þ Ò · ¡¡¡· ÄÄ Ë Ä Þ Ò · Ä Þ Ò en
Þ Ò ½ Ë ½ Þ Ò· ¾ Ë ¾ Þ Ò·¡¡¡· Ä Ë Ä Þ Ò·Þ Ò
De tijdafhankelijkheid Þ Ò kan uit al deze vergelijkingen worden weggedeeld waarna een vergelijkingsstelsel
voor de amplitudes ( Ë ½ Ë ¾ ¡¡¡Ë Ä ) resulteert:
´ ½½ ÞµË ½ · ½¾ Ë ¾ · ¡¡¡· ½Ä Ë Ä ½
¾½ Ë ½ ·´ ¾¾ ÞµË ¾ · ¡¡¡· ¾Ä Ë Ä ¾
.
. .
Ľ Ë ½ · ľ Ë ¾ · ¡¡¡·´ ÄÄ ÞµË Ä Ä en
½ Ë ½ · ¾ Ë ¾ · ¡¡¡· Ä Ë Ä·
Bij een gegeven amplitude van het ingangssignaal kunnen uit de eerste Ä vergelijkingen van (1.3)
de Ä amplitudes Ë ½ Ë ¾ ¡¡¡Ë Ä van de toestandsvariabelen worden opgelost (eventueel met uitzondering
van een eindig aantal Þ-waarden). Uit de laatste vergelijking volgt dan de amplitude van het
uitgangssignaal . Het tijdverloop van alle signalen is daarmee bekend en gelijk aan (amplitude)¢Þ Ò .
We concluderen hieruit dat Þ Ò inderdaad een eigenfunctie van het algemene systeem is.
Het oplossen van de Ë ’s en leidt tot uitdrukkingen volgens Ë ´Þµ en À´Þµ. De
evenredigheidsfactoren ´Þµ en À´Þµ zijn afhankelijk van de ’s, de ’s, de ’s en van (die door
het systeem bepaald worden) en ook van de reden Þ (die uit verloop van het ingangssignaal volgt).
Indien we (zoals gebruikelijk) uitgaan van een gegeven systeem, is slechts de reden Þ een variabele;
daarom wordt slechts de Þ-afhankelijkheid expliciet in ´Þµ en À´Þµ aangeduid.
De factor À´Þµ wordt de overdrachtsfunctie van het systeem genoemd.
(1.3)
1.6 Het overdrachtssysteem ÜÒ℄
en de differentievergelijking
ÝÒ℄, de overdrachtsfunctie À ´Þµ
Indien we een systeem als overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄ beschouwen zijn we slechts geïnteresseerd
in de relatie tussen het ingangssignaal (de excitatie) ÜÒ℄ en het uitgangssignaal (de responsie)
ÝÒ℄ en niet in de inwendige signalen van het systeem (de toestandsvariabelen). In de vorige paragraaf
introduceerden we de beschrijving van het overdrachtssysteem m.b.v. zijn overdrachtsfunctie À´Þµ;
samengevat betekent dit
ÜÒ℄ Þ Ò
ÝÒ℄À´ÞµÞ Ò Þ Ò met À´Þµ
De overdrachtsfunctie À´Þµ is dus de factor waarmee het systeem de amplitude van het ingangssignaal
vermenigvuldigt. Deze factor hangt af van de structuur van het systeem, van de vermenigvuldigers
en van de reden Þ van het ingangssignaal.