1 - Signal Processing Systems

More documents

Recommendations

Info

8 Hoofdstuk 1. <strong>Signal</strong>en en systemen in de discrete tijd Opmerking Bij een analoog lineair en tijdonafhankelijk systeem is het signaalverloop ×Ø een eigenfunctie van het systeem. Een ingangssignaal Ü´Øµ ×Ø veroorzaakt daarom (in de stationaire toestand) een uitgangssignaal Ý´Øµ ×Ø en de amplitudes en hangen samen volgens À ´×µ waarbij À ´×µ de overdrachtsfunctie van het (analoge) tijdcontinue systeem is. We zien dus de overeenkomst tussen de verschijnselen in de continue en de discrete tijd. In de discrete tijd wordt de rol van het exponentiële verloop ×Ø overgenomen door de meetkundige rij Þ Ò die daarmee de tijddiscrete tegenhanger is van een exponentieel signaal. De samenhang tussen deze twee signaalverlopen wordt duidelijker indien we bedenken dat bemonstering van een exponentieel signaal Ü´Øµ ×Ø volgens ÜÒ℄ Ü´ÒÌ µ een meetkundige rij ÜÒ℄ ×ÒÌ ´ ×Ì µÒ Þ Ò oplevert, met Þ ×Ì . De meetkundige rij Þ Ò zullen we daarom ook een exponentieel signaal noemen. We bekijken nu opnieuw het elementaire vergelijkingsstelsel (1.1) en bepalen hiervan uitgaande de vergelijking die het verband tussen ÜÒ℄ en ÝÒ℄ beschrijft. Hiervoor moeten de interne signalen (× Ò℄) uit het stelsel worden geëlimineerd. Dan blijkt dat het verband tussen ÜÒ℄ en ÝÒ℄ gegeven wordt door ÝÒ℄ ¬ ¼ ÜÒ℄·¬ ½ ÜÒ ½℄ · ¬ ¾ ÜÒ ¾℄ · ¡¡¡·¬ Ä ÜÒ Ä℄ ·« ½ ÝÒ ½℄ · « ¾ ÝÒ ¾℄ · ¡¡¡·« Ä ÝÒ Ä℄ Ä ¼ ¬ ÜÒ ℄· Ä ½ « ÝÒ ℄ (1.4) Deze vergelijking heet de differentievergelijking (de D.V.) van het systeem en is de tijddiscrete tegenhanger van de differentiaalvergelijking van een analoog systeem. Bewijs. De gedetailleerde afleiding van de D.V. uit de toestandsvergelijkingen (1.1) laten we achterwege; we geven slechts het verloop van deze afleiding aan. Eerst herschrijven we de toestandsvergelijkingen als ×Ò℄ ×Ò ½℄ · ÜÒ ½℄ en ÝÒ℄ ×Ò℄·ÜÒ℄ Uit dit stelsel van Ä ·½ vergelijkingen willen we × ½ Ò℄, × ¾ Ò℄ ¡¡¡× Ä Ò℄ en × ½ Ò ½℄, × ¾ Ò ½℄ ¡¡¡× Ä Ò ½℄, d.w.z. ¾Ä variabelen elimineren; we hebben hiervoor Ä vergelijkingen te weinig. Eenmaal ‘vertragen’ van het stelsel levert de Ä ·½nieuwe vergelijkingen ×Ò ½℄ ×Ò ¾℄ · ÜÒ ¾℄ en ÝÒ ½℄ ×Ò ½℄ · ÜÒ ½℄ er zijn echter ook Ä te elimineren variabelen bijgekomen (× ½ Ò ¾℄× ¾ Ò ¾℄ ¡¡¡× Ä Ò ¾℄). Ook komen de extra variabelen ÝÒ ½℄ en ÜÒ ½℄ voor. Wanneer we doorgaan tot en met de Ä¢ vertraagde versie van het stelsel hebben we in het totaal ´Ä ·½µ ¾ vergelijkingen. In het totaal zijn er dan ´Ä ·¾µÄvariabelen die we willen elimineren nl. × ½ Ò℄× ½ Ò ½℄ ¡¡¡× ½ Ò ½ Ä℄ × ¾ Ò℄× ¾ Ò ½℄ ¡¡¡× ¾ Ò ½ Ä℄ . × Ä Ò℄× Ä Ò ½℄ ¡¡¡× Ò ½ Ä℄ .
1.6. Het overdrachtssysteem, de overdrachtsfunctie en de differentievergelijking 9 Wat betreft Ü en Ý komen de variabelen ÜÒ℄ÜÒ ½℄ ¡¡¡ÜÒ Ä℄en ÝÒ℄ÝÒ ½℄ ¡¡¡ÝÒ Ä℄ voor. Het elimineren van de Ä ¾ ·¾Ä ×-variabelen uit de Ä ¾ ·¾Ä·½ vergelijkingen leidt dan tot één vergelijking tussen de Ü- enÝ-variabelen; de algemene vorm van deze vergelijking is de in (1.4) gegeven D.V. ¾ De D.V. (1.4) kan als volgt gelezen worden: het uitgangssignaal op een bepaald moment ÝÒ℄ is een lineaire combinatie van – het ingangssignaal ÜÒ℄ op dat moment – vertragingen van het ingangssignaal ÜÒ℄ (waarden ÜÒ ℄ uit het verleden) – vertragingen van het uitgangssignaal ÝÒ℄ (waarden ÝÒ ℄ uit het verleden). Deze uitspraak weerspiegelt de causaliteit van het systeem. Omdat we weten dat Þ Ò een eigenfunctie van het systeem is en dus ÜÒ℄ Þ Ò ÝÒ℄À´ÞµÞ Ò Þ Ò met À´Þµ bepalen we opnieuw het verband tussen de amplitudes en , maar nu uitgaande van de D.V. (1.4). Daartoe substitueren we ÜÒ℄ Þ Ò en ÝÒ℄ Þ Ò in de D.V.; dit leidt tot ofwel Þ Ò ¬ ¼ Þ Ò ·¬ ½ Þ Ò ½ · ¬ ¾ Þ Ò ¾ ·¡¡¡¬ Ä Þ Ò Ä ·« ½ Þ Ò ½·« ¾ Þ Ò ¾·¡¡¡·« Ä Þ Ò Ä ½ « ½ Þ ½ « ¾ Þ ¾ ¡¡¡ « Ä Þ Ä Þ Ò ¬ ¼·¬ ½ Þ ½·¬ ¾ Þ ¾·¡¡¡·¬ Ä Þ Ä Þ Ò Voor de overdrachtsfunctie H(z) volgt hieruit À´Þµ ¬ ¼·¬ ½ Þ ½·¬ ¾ Þ ¾·¡¡¡·¬ È Ä Þ Ä Ä¼ ½ « ½ Þ ½ « ¾ Þ ¾ ¡¡¡ « Ä Þ Ä ¬ Þ È ½ Ä½ « Þ (1.5) We hebben nu dus twee beschrijvingen van het digitale overdrachtssysteem ÜÒ℄ ÝÒ℄;één m.b.v. de overdrachtsfunctie (1.5) en één m.b.v. de differentievergelijking (1.4). Merk op dat de coëfficiënten die in deze beschrijvingen voorkomen dezelfde zijn. Dit wil zeggen dat uit een gegeven D.V. direct de overdrachtsfunctie volgt en omgekeerd. Aangezien het in de praktijk eenvoudig is om de overdrachtsfunctie van een systeem te bepalen, zal het bepalen van de D.V. steeds gebeuren door eerst de overdrachtsfunctie À´Þµ te bepalen en, daarvan uitgaand, de D.V. op te schrijven. Wat betreft de coëfficiënten van de D.V. en van À´Þµ (« ’s en ¬ ’s), constateren we dat deze reëel en constant zijn. Dit komt omdat de in het systeem voorkomende vermenigvuldigers reële constanten zijn. Verder merken we op dat de indexering in (1.4) en (1.5) van 0 tot Ä loopt. Hierbij is Ä gelijk aan het aantal vertragers dat in het systeem voorkomt. Het is echter mogelijk dat één of meerdere van de coëfficiënten (« ’s en ¬ ’s) gelijk aan nul zijn. We willen ons niet beperken tot het geval dat ¬ ¼ ongelijk aan nul is, maar er expliciet rekening mee houden dat de ¬-coëfficiënten kunnen ‘beginnen’ met een index Â (Â ¼) ofwel¬ ¼ ¬ ½ ¡¡¡ ¬ Â ½ ¼ en ¬ Â ¼. Ook brengen we in de notatie expliciet tot uiting dat de « ’s gelijk aan nul kunnen zijn voor Å (met Å Ä)ende¬ ’s gelijk aan nul kunnen zijn voor Æ(met Æ Ä).
Page 1 and 2: Hoofdstuk 1 Signalen en systemen in
Page 3 and 4: 1.3. De elementen van een digitaal
Page 5 and 6: 1.5. De eigenfunctie Þ Ò van het
Page 7: 1.6. Het overdrachtssysteem, de ove
Page 11 and 12: 1.6. Het overdrachtssysteem, de ove
Page 13 and 14: 1.7. De complexe rekenwijze voor si
Page 15 and 16: 1.8. De frequentieresponsie À´
Page 17 and 18: 1.9. De realisering van een overdra
Page 19 and 20: 1.10. De impulsresponsie, de convol
Page 21 and 22: 1.10. De impulsresponsie, de convol
Page 23: 1.10. De impulsresponsie, de convol

1 - Signal Processing Systems

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?