1 - Signal Processing Systems

1.10. De impulsresponsie, de convolutiesom en de stabiliteit 21
De door ons beschouwde systemen zijn causaal; in par. 1.6 zagen we dat dan (vanwege ÆÒ℄ ¼voor
Ò¼) voor de impulsresponsie geldt:
Ò℄ ¼voor Ò¼
In de eerste sommering van (1.11) betekent dit dat voor de bovengrens Ò kan worden gelezen. In
de tweede sommering kan de ondergrens gelijk aan ¼worden gesteld.
Een ingangssignaal ÜÒ℄ begint ooit, bijvoorbeeld op Ò ¼. Voor de responsie van een causaal
systeem op een, op Ò ¼beginnend ingangssignaal kan verg. (1.11) ook geschreven worden als
ÝÒ℄ ¼voor Ò¼en ÝÒ℄
Ò
¼
Ò ℄Ü℄
Ò
¼
℄ÜÒ ℄ voor Ò ¼
De impulsresponsie beschrijft een overdrachtssysteem volledig; d.w.z. indien we de impulsresponsie
kennen, kunnen we de responsie op ieder willekeurig signaal bepalen (m.b.v. verg. (1.11).
De responsie op een eigenfunctie ÜÒ℄ Þ Ò hebben we al leren kennen; deze is ÝÒ℄ À´ÞµÞ Ò .
We bepalen deze responsie opnieuw, maar nu m.b.v. de convolutiesom. Dan is
ÜÒ℄ Þ Ò
ÝÒ℄
½
½
℄ÜÒ ℄
½
½
℄Þ Ò
½
½
℄Þ
ÞÒ
In deze laatste uitdrukking zien we dat de overdrachtsfunctie en de impulsresponsie samenhangen
volgens
À´Þµ
½
½
Ò℄Þ Ò (1.12)
De overdrachtsfunctie À´Þµ is dus enerzijds de factor waarmee het systeem de eigenfunctie Þ Ò vermenigvuldigt
en anderzijds is hij de Þ-getransformeerde van de impulsresponsie.
De impulsresponsie kan uit de overdrachtsfunctie worden bepaald via de Þ-terugtransformatie. Het
is relatief eenvoudig is om de overdrachtsfunctie van een systeem te bepalen en het ligt daarom voor
de hand om een gezochte impulsresponsie Ò℄ te bepalen door terugtransformatie van een À´Þµ. Op
de Þ-terugtransformatie komen we in par. 2.4 terug.
1.10.1 De stabiliteit van een overdrachtssysteem
We introduceren nu een belangrijke eis die we aan overdrachtssystemen zullen stellen, namelijk de
eis van stabiliteit. Wedefiniëren deze stabiliteit met:
een overdrachtssysteem is stabiel indien iedere begrensde excitatie
een begrensde responsie veroorzaakt
Deze voorwaarde voor stabiliteit wordt in de literatuur ook wel de BIBO-stabiliteit genoemd; hierbij
staat BIBO voor ‘bounded-input bounded-output’.
Een ingangssignaal ÜÒ℄ is begrensd indien het voor alle waarden van Ò voldoet aan ÜÒ℄ ½;
de waarden van het signaal zijn dan begrensd tot een interval tot . Ruwweg gezegd: het ingangssignaal
is ‘eindig’. De stabiliteit eist dan dat het bijbehorende uitgangssignaal ÝÒ℄ ook eindig
blijft en dus begrensd is. Omdat een overdrachtssysteem volledig gekarakteriseerd is door zijn impulsresponsie,
zal de stabiliteit een eis opleggen aan Ò℄; deze eis is
½
Ò ½
Ò℄ ½ ofwel: de impusresponsie is absoluut sommeerbaar. (1.13)